Question

設(shè)函數(shù)f(x)=-

1

3

x3+x2+(m2-1)x．
（1）當(dāng)方程f（x）=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)解時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若m＞0且當(dāng)x∈[1-m，3]時(shí)，恒有f（x）≤0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將f（x）提取公因式x，要使方程f（x）=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)解時(shí)，令f（x）的另一個(gè)因式的判別式小于0，求出m的范圍．
（2）將問題轉(zhuǎn)化為求y=f（x）在∈[1-m，3]的最大值問題，求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0，求出單調(diào)遞增區(qū)間，通過對(duì)3與1+m的大小的討論，求出f（x）的最大值，令最大值小于等于0，求出m的范圍．

解答：解：（1）f(x)=-

1

3

x3+x2+(m2-1)x=x[-

1

3

x2+x+(m2-1)]
方程f（x）=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，-

1

3

x2+x+(m2-1)=0沒有實(shí)數(shù)解．
∴△=1+

4

3

(m2 -1)＜0，解得-

1

2

＜m＜

1

2

．
所以，當(dāng)方程f（x）=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)解時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-

1

2

，

1

2

)
（2）由f′（x）=-x²+2x+m²-1=-（x-m-1）（x+m-1）
因?yàn)閙＞0所以1+m＞1-m
f（x）在（-∞，1-m）和（1+m，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，
在（1-m，1+m）內(nèi)單調(diào)遞增．
（1）當(dāng)3＜1+m，即m＞2時(shí)，f（x）在區(qū)間[1-m，3]上是增函數(shù)，
f（x）_max=f（3）=3m²-3
∴

m＞2 3m2-3≤0

無解．
（2）當(dāng)1+m≤3，即0＜m≤2時(shí)，f（x）在區(qū)間[1-m，1+m]上是增函數(shù)，在（1+m，+∞）上是減函數(shù)，
∴f(x)max=f(1+m)=

2

3

m3+m2-

1

3

∴

0＜m≤2 2 3 m3+m2- 1 3 ≤ 0

解得0＜m≤

1

2

綜上所述，m的取值范圍為(0，

1

2

]

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值與最小值問題中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，判斷出函數(shù)的最值，本題第二小題是一個(gè)恒成立的問題，恒成立的問題一般轉(zhuǎn)化最值問題來求解，本題即轉(zhuǎn)化為用單調(diào)性求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的問題，求出最值再判斷出參數(shù)的取值．本題運(yùn)算量過大，解題時(shí)要認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)，避免變形運(yùn)算失誤，導(dǎo)致解題失�。�