Question

定義Mf（x）=f（x+1）-f（x）為函數(shù)f（x）的邊際函數(shù)，某企業(yè)每月最多生產(chǎn)100臺(tái)報(bào)警器，已知每生產(chǎn)x臺(tái)的收入函數(shù)為R（x）=3000x-20x²（單位：元），其成本函數(shù)為C（x）=500x+4000（單位：元），利潤(rùn)是收入與成本的差．
（1）求利潤(rùn)函數(shù)P（x）及其邊際函數(shù)MP（x）；
（2）利潤(rùn)函數(shù)P（x）及其邊際函數(shù)MP（x）是否有相等的最大值？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由“利潤(rùn)等于收入與成本之差．”可求得利潤(rùn)函數(shù)p（x），由“邊際函數(shù)為Mf（x），定義為Mf（x）=f（x+1）-f（x）”可求得邊際函數(shù)．
（2）由二次函數(shù)法研究p（x）的最大值，由一次函數(shù)法研究Mp（x），對(duì)照結(jié)果即可．

解答：解：（1）根據(jù)題意：
p（x）=R（x）-C（x）=-20x²+2500x-4000
Mp（x）=p（x+1）-p（x）
=-20（x+1+x）（x+1-x）+2500（x+1-x）
=-40x+2480
（2）∵p（x）=-20x²+2500x-4000
=-20（x-62.5）²+74125
∴當(dāng)x=62，63時(shí)
函數(shù)最大值為：74120
∵M(jìn)p（x）=-40x+2480
∴當(dāng)x=0時(shí)
函數(shù)最大值為：2480
P （x）與Mp（x）不具有相等的最大值，所以不一樣．

點(diǎn)評(píng)：本題主考查函數(shù)模型的建立和應(yīng)用，涉及了函數(shù)的最值，同時(shí)，確定函數(shù)關(guān)系實(shí)質(zhì)就是將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言--數(shù)學(xué)化，再用數(shù)學(xué)方法定量計(jì)算得出所要求的結(jié)果，關(guān)鍵是理解題意，將變量的實(shí)際意義符號(hào)化．