Question

【題目】已知數(shù)列的前n項和為且，其中為常數(shù).

（1）求的值及數(shù)列的通項公式；

（2）記，數(shù)列的前n項和為，若不等式對任意恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】

（1）將代入已知等式即可求得的值；利用作差法即可求得數(shù)列的通項公式；（2）由（1）求得及，構造新函數(shù)，進而可得其最大項的值，從而可得k的取值范圍.

（1）由題意，數(shù)列滿足，

令，可得，

又由，解得.

因為，則

兩式相減，可得，整理得，

所以數(shù)列是以首項為4，公比為2的等比數(shù)列，

所以數(shù)列的通項公式為.

（2）由（1）可得，

所以，

因為恒成立，即恒成立，

即對任意恒成立，

設，則，

當時，，數(shù)列單調(diào)遞減；

當時，，數(shù)列單調(diào)遞增，

又因為，所以數(shù)列最大項的值為，

所以，即k的取值范圍為.