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15.已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)-ax(a∈R).
(Ⅰ)當a=1時,求f(x)的最大值;
(Ⅱ)是否存在實數(shù)a,使得關于x的不等式f(x)<0在(0,+∞)上恒成立?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,請說明理由;
(Ⅲ)求證:(1n+1)n<e,n∈N*(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).

分析 (Ⅰ)求出函數(shù)g(x)的導數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,得到f(x)的最大值;
(Ⅱ)求出f(x)的導數(shù),通過討論a的符號,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,從而求出a的范圍即可;
(Ⅲ)證明:由(Ⅱ)知ln(x+1)<x在(0,+∞)上恒成立,所以lnx+1x1在(0,+∞)上恒成立,即可證明結論.

解答 (Ⅰ)解:f(x)的定義域為(-1,+∞).
當a=1時,f(x)=ln(x+1)-x,fx=xx+1
當-1<x<0時,f'(x)>0;當x>0時,f'(x)<0.
所以,函數(shù)f(x)在(-1,0)上是增函數(shù),在(0,+∞)上是減函數(shù).
所以,當x=0時,f(x)取得最大值f(0)=0.…(4分)
(Ⅱ)解:fx=1x+1a
(1)若a≥1,則fx=1x+1a0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,
∴f(x)<f(0)=0在(0,+∞)上恒成立;
(2)若a≤0,則fx=1x+1a0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
f(x)>f(0)=0,不符合題意.
(3)證明:若0<a<1,則fx=a[x1a1]x+1,且1a10
x01a1時,f'(x)>0,f(x)在01a1上單調(diào)遞增,
此時f(x)>f(0)=0,不符合題意.
綜上,所求a的取值范圍[1,+∞).…(8分)
(Ⅲ)證明:由(Ⅱ)知ln(x+1)<x在(0,+∞)上恒成立,
所以lnx+1x1在(0,+∞)上恒成立.
于是lnx+11x1,所以x+11xe
x=1n,得1n+1ne.…(14分)

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題,考查不等式的證明,是一道綜合題.

練習冊系列答案
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