分析 (Ⅰ)求出函數(shù)g(x)的導數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,得到f(x)的最大值;
(Ⅱ)求出f(x)的導數(shù),通過討論a的符號,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,從而求出a的范圍即可;
(Ⅲ)證明:由(Ⅱ)知ln(x+1)<x在(0,+∞)上恒成立,所以ln(x+1)x<1在(0,+∞)上恒成立,即可證明結論.
解答 (Ⅰ)解:f(x)的定義域為(-1,+∞).
當a=1時,f(x)=ln(x+1)-x,f′(x)=−xx+1.
當-1<x<0時,f'(x)>0;當x>0時,f'(x)<0.
所以,函數(shù)f(x)在(-1,0)上是增函數(shù),在(0,+∞)上是減函數(shù).
所以,當x=0時,f(x)取得最大值f(0)=0.…(4分)
(Ⅱ)解:f′(x)=1x+1−a.
(1)若a≥1,則f′(x)=1x+1−a<0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,
∴f(x)<f(0)=0在(0,+∞)上恒成立;
(2)若a≤0,則f′(x)=1x+1−a>0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
f(x)>f(0)=0,不符合題意.
(3)證明:若0<a<1,則f′(x)=−a[x−(1a−1)]x+1,且1a−1>0.
當x∈(0,1a−1)時,f'(x)>0,f(x)在(0,1a−1)上單調(diào)遞增,
此時f(x)>f(0)=0,不符合題意.
綜上,所求a的取值范圍[1,+∞).…(8分)
(Ⅲ)證明:由(Ⅱ)知ln(x+1)<x在(0,+∞)上恒成立,
所以ln(x+1)x<1在(0,+∞)上恒成立.
于是ln(x+1)1x<1,所以(x+1)1x<e.
取x=1n,得(1n+1)n<e.…(14分)
點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題,考查不等式的證明,是一道綜合題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | {x|-3<x<-1} | B. | {x|-3<x<0} | C. | {x|-1≤x<0} | D. | {x<-3} |
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A. | [-1,1] | B. | [-1,1) | C. | (-1,1] | D. | (-1,1) |
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