Question

某工廠生產(chǎn)容積為米³的無蓋圓錐形容器，容器的底面半徑為r（米），而制造底面的材料每平方米30元，制造容器壁的材料每平方米20元，設(shè)計時材料厚度忽略不計．
（1）把容器的成本y（元）表示為r的函數(shù)；
（2）如何設(shè)計容器的尺寸，可使成本最低，最低成本是多少？（結(jié)果精確到1元）

Answer 1

解：（1）∵底面半徑為r，制造底面的材料每平方米30元
∴底面造價為：30πr²，
而由無蓋圓錐形容器容積為米³，我們易得容器壁的造價為：40πr
則容器的成本y（元）表示為r的函數(shù)的解析式：
y=30πr²+40πr
=30πr²+（r＞0）；
（2）由（1）中，y=30πr²+（r＞0）=30π（r²++）≥90≈283元，
當(dāng)且僅當(dāng)?shù)酌姘霃絩=1時取等號．
故當(dāng)當(dāng)?shù)酌姘霃絩=1米時，可使成本最低，最低成本是283元．
分析：（1）由無蓋圓錐形容器容積為米³，我們設(shè)底面半徑為r，易求出底面面積，及側(cè)（容器壁）面積，然后再根據(jù)制造底面的材料每平方米30元，制造容器壁的材料每平方米20元，我們可得到容器的成本y（元）表示為r的函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)（1）中的容器的成本y（元）表示為r的函數(shù)的解析式，結(jié)合基本不等式，我們易求出成本最低值，及對應(yīng)的底面半徑r的值．
點評：函數(shù)的實際應(yīng)用題，我們要經(jīng)過析題→建�！�解模→還原四個過程，在建模時要注意實際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時也要實際問題實際考慮．將實際的最大（�。┗瘑栴}，利用函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（�。┦亲顑�(yōu)化問題中，最常見的思路之一．