Question

美國華爾街的次貸危機引起的金融風暴席卷全球，低迷的市場造成產(chǎn)品銷售越來越難，為此某廠家舉行大型的促銷活動，經(jīng)測算該產(chǎn)品的銷售量P萬件（生產(chǎn)量與銷售量相等）與促銷費用x萬元滿足P=3-

2

x+1

，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本10+2P萬元（不含促銷費用），每件產(chǎn)品的銷售價格定為4+

20

P

元．
（Ⅰ）將該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數(shù)（利潤=總售價-成本-促銷費）；
（Ⅱ）促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)利潤=總售價-成本-促銷費，即可建立函數(shù)關系；
（2）利用基本不等式可求出該函數(shù)的最值，注意等號成立即可．

解答：解：（1）根據(jù)利潤=總售價-成本-促銷費，可得y=P（4+

20

P

）-（10+2P）-x
∵P=3-

2

x+1

，∴y=16-

4

x+1

-x，即y=17-(

4

x+1

+x+1)，（x≥0）；
（2）∵x≥0，∴x+1≥1，
∴y=17-(

4

x+1

+x+1)≤17-4=13，當且僅當

4

x+1

=x+1，即x=1萬元時，y取得最大值13萬元
∴促銷費用投入1萬元時，廠家的利潤最大

點評：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應用，以及基本不等式在最值問題中的應用，同時考查了計算能力，屬于中檔題．