Question

已知函數f（x）=log_a（x+1），g（x）=-log_a（1-x）．
（1）當0＜a＜1時，解不等式：f（x）+g（x）≥0；
（2）當a＞1，x∈[0，1）時，總有2f（x）+g（x）≥m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：對數的運算性質,對數函數的圖像與性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）當0＜a＜1時，不等式：f（x）+g（x）≥0化為log_a（x+1）-log_a（1-x）≥0，利用對數的運算性質可得：loga

x+1

1-x

≥0，0＜

x+1

1-x

≤1，解出即可；
（2）2f（x）+g（x）=loga

(x+1)2

1-x

，當a＞1，x∈[0，1）時，總有2f（x）+g（x）≥m恒成立?m≤(loga

(x+1)2

1-x

)min，x∈[0，1）．再利用導數研究函數的單調性即可得出．

解答： 解：（1）當0＜a＜1時，不等式：f（x）+g（x）≥0化為log_a（x+1）-log_a（1-x）≥0；
∴loga

x+1

1-x

≥0，∴0＜

x+1

1-x

≤1，x+1＞0，1-x＞0，解得-1＜x≤0．
∴不等式的解集為{x|-1＜x≤0}．
（2）2f（x）+g（x）=loga(x+1)2-loga(1-x)=loga

(x+1)2

1-x

，
當a＞1，x∈[0，1）時，總有2f（x）+g（x）≥m恒成立?m≤(loga

(x+1)2

1-x

)min，x∈[0，1）．
令h（x）=

(x+1)2

1-x

=1-x+

4

1-x

-4，x∈[0，1）．
∴h′（x）=-1+

4

(1-x)2

=

-(x-3)(x+2)

(1-x)2

＞0，
∴函數h（x）在x∈[0，1）單調遞增，∴當x=0時，函數h（x）取得最小值1．
∴m≤log_a1=0．
∴實數m的取值范圍是（-∞，0]．

點評：本題考查了對數的運算性質、不等式的解法，考查了恒成立問題的等價轉化方法，考查了利用導數研究函數的單調性，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．