Question

16．已知曲線C₁：x+$\sqrt{3}$y=$\sqrt{3}$和C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{6}cosφ}\\{y=\sqrt{2}sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x 軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，且兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位．
（1）把曲線C₁、C₂的方程化為極坐標(biāo)方程
（2）設(shè)C₁與x軸、y軸交于M，N兩點(diǎn)，且線段MN的中點(diǎn)為P．若射線OP與C₁、C₂交于P、Q兩點(diǎn)，求P，Q兩點(diǎn)間的距離．

Answer 1

分析 （1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，將普通方程化為極坐標(biāo)方程即可；
（2）求出M，N，P的坐標(biāo)，得到射線的極坐標(biāo)方程，分別代入C₁、C₂得到，P，Q的極坐標(biāo)，求距離即可．

解答 解：（1）線C₁：x+$\sqrt{3}$y=$\sqrt{3}$和C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{6}cosφ}\\{y=\sqrt{2}sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x 軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，因?yàn)閤=ρcosθ，y=ρsinθ，
所以C₁：$ρcosθ+ρ\sqrt{3}sinθ=\sqrt{3}$，即$2ρsin（θ+\frac{π}{6}）=\sqrt{3}$，所以$ρsin（θ+\frac{π}{6}）=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
C₂的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，所以其極坐標(biāo)方程為$\frac{{ρ}^{2}co{s}^{2}θ}{6}+\frac{{ρ}^{2}si{n}^{2}θ}{2}=1$，即${ρ}^{2}=\frac{6}{1+2si{n}^{2}θ}$．
（2）由題意M（$\sqrt{3}$，0），N（0，1），所以P（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}$），所以射線OP的極坐標(biāo)方程為：$θ=\frac{π}{6}$，
把$θ=\frac{π}{6}$代入C₁得到ρ₁=1，P（1，$\frac{π}{6}$）；
把$θ=\frac{π}{6}$代入C₂得到ρ₂=2，Q（2，$\frac{π}{6}$），
所以|PQ|=|ρ₂-ρ₁|=1，即P，Q兩點(diǎn)間的距離為1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了普通方程、極坐標(biāo)方程以及參數(shù)方程之間的互化，理解自變量的關(guān)系是關(guān)鍵．