Question

如圖,是邊長為的正方形，平面，，，與平面所成角為.

(1)求證：平面；

(2)求二面角的余弦值；

(3)設(shè)點(diǎn)是線段上一個(gè)動點(diǎn)，試確定點(diǎn)的位置，使得平面，并證明你的結(jié)論.

 

Answer 1

【答案】

(1) 參考解析；(2) ； (3)

【解析】

試題分析：(1)因?yàn)橐�證平面即直線與平面垂直的證明，通過證明這條直線垂直平面內(nèi)的兩條相交直線即可，依題意易得到.

(2)因?yàn)橐�求二面�?/span>的余弦值，一般是通過建立空間坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，由于AC所在的向量就是平面EDB的法向量，所以關(guān)鍵是通過待定系數(shù)法求出平面EFB的法向量.再通過兩法向量的夾角得到兩平面的二面角的大小，二面角是鈍角還是銳角通過圖形來確定.

(3)因?yàn)辄c(diǎn)是線段上一個(gè)動點(diǎn)，試確定點(diǎn)的位置，使得平面.通過對點(diǎn)M的假設(shè)寫出向量AM.從而由該向量垂直平面的法向量，即可得到相應(yīng)的點(diǎn)M的坐標(biāo).

試題解析：(1)證明： 因?yàn)?/span>平面， 所以.

因?yàn)?/span>是正方形，所以，又相交

從而平面.

(2)解：因?yàn)?/span>兩兩垂直，所以建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.因?yàn)?/span>與平面所成角為， 即，

所以.由可知，.

則，，，，，

所以，，

設(shè)平面的法向量為，則，即，

令，則. 因?yàn)?/span>平面，所以為平面的法向量，，

所以.

因?yàn)槎�面角為銳角，所以二面角的余弦值為.

(3)解：點(diǎn)是線段上一個(gè)動點(diǎn)，設(shè). 則，

因?yàn)?/span>平面，所以,

即，解得.

此時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為，，符合題意.

考點(diǎn)：1.線面垂直的證明.2.二面角的問題.3.直線與平面平行.4.空間想象能力.