【題目】如圖所示, 矩形所在的平面, 分別是的中點.
(1)求證: 平面;
(2)求證: .
(3)當滿足什么條件時,能使平面成立?并證明你的結論.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)當滿足時,能使平面成立.證明見解析。
【解析】試題分析:(1)取的中點,連結,證明四邊形是平行四邊形,可得,利用線面平行的判定,即可得出結論;(2)由線面垂直得,由矩形性質得,由線面垂直的判定定理可得平面,由此能證明;(3)當滿足時,能使平面成立,可利用等腰三角形的性質以及線面垂直的判定定理證明.
試題解析:( )證明:取的中點,連接, .
∵, 分別是, 中點,
∴,
又∵, 是中點,
∴,
∴,
∴四邊形是平行四邊形,
∴.
∵平面, 平面,
∴平面.
()∵平面,
∴,
又,
∴平面,
∴,
又∵
∴.
()當滿足時,能使平面成立,
現(xiàn)證明如下:
∵, 是中點,
∴.
∵,
∴.
由()可知,
∴平面.
故當滿足時,能使平面成立.
【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、直線和平面垂直的性質定理與判定定理,屬于難題. 證明線面平行的常用方法:①利用線面平行的判定定理,使用這個定理的關鍵是設法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線,可利用幾何體的特征,合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質,即兩平面平行,在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題(1)是就是利用方法①證明的.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】函數(shù), (是自然對數(shù)的底數(shù), ).
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)已知表示不超過的最大整數(shù),如, ,若對任意,都存在,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了選拔優(yōu)秀學生參加廣州市高二級數(shù)學競賽.現(xiàn)分別從他們在培訓期間參加的若干次預賽成績中隨機抽取了5次,記錄如下(單位:分):
甲 83 81 79 95 92
乙 92 85 75 88 90
(1)甲乙兩人分數(shù)的極差分別是多少?并用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù).
(2)甲乙兩人這5次成績的平均分和方差各是多少?從穩(wěn)定性的角度考慮,你認為選派哪位學生參加比賽較合適?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】從某居民區(qū)隨機抽取10個家庭,獲得第i個家庭的月收入xi(單位:千元)與月儲蓄yi(單位:千元)的數(shù)據(jù)資料,算得 =80, =20, iyi=184, =720.(b= )
(1)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程;
(2)判斷變量x與y之間是正相關還是負相關;
(3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元,預測該家庭的月儲蓄.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知美國蘋果公司生產(chǎn)某款iPhone手機的年固定成本為40萬美元,每生產(chǎn)1萬只還需另投入16萬美元.設蘋果公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款iPhone手機x萬只并全部銷售完,每萬只的銷售收入為R(x)萬美元,且R(x)=
(1)寫出年利潤W(萬美元)關于年產(chǎn)量x(萬只)的函數(shù)解析式;
(2)當年產(chǎn)量為多少萬只時,蘋果公司在該款iPhone手機的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大?并求出最大利潤.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)y=f(x)在R上可導且滿足不等式xf′(x)+f(x)>0恒成立,且常數(shù)a,b滿足a>b,則下列不等式一定成立的是( 。
A.af(a)>bf(b)
B.af(b)>bf(a)
C.af(a)<bf(b)
D.af(b)<bf(a)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,滿足f(1)=﹣ , 且3a>2c>2b.
(1)求證:a>0時,的取值范圍;
(2)證明函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個零點;
(3)設x1 , x2是函數(shù)f(x)的兩個零點,求|x1﹣x2|的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】用二分法研究函數(shù)f(x)=x3+3x﹣1的零點時,第一次經(jīng)計算f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一個零點x0∈ ,第二次應計算的f(x)的值為f( ).
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