解答題:

已知二次函數(shù)f(x)=ax2bxc(a,b,c均為實(shí)數(shù)),滿(mǎn)足a-b+c=0,對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都有f(x)-x≥0,并且當(dāng)x∈(0,2)時(shí),有f(x)≤

(1)

f(1)的值;

(2)

證明:ac

(3)

當(dāng)x∈[-2,2]且a+c取得最小值時(shí),函數(shù)F(x)=f(x)-mx(m為實(shí)數(shù))是單調(diào)的,求證:m≤-m

答案:
解析:

(1)

解:∵對(duì)于任意xR,都有f(x)-x≥0,且當(dāng)x∈(0,2)時(shí),

f(x)≤.令x=1

∴1≤f(1)≤

f(1)=1.…………5分

(2)

解:由ab+c=0及f(1)=1.

,可得ba+c.…………7分

又對(duì)任意x,f(x)-x≥0,即ax2x+c≥0.

a>0且△≤0.

-4ac≤0,解得ac.…………9分

(3)

解:由(Ⅱ)可知a>0,c>0.

a+c≥2≥2·.…………10分

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.此時(shí)

a=c.…………11分

f(x)=x2x,

F(x)=f(x)-mx[x2+(2-4m)x+1].…………12分

當(dāng)x∈[-2,2]時(shí),f(x)是單調(diào)的,所以F(x)的頂點(diǎn)一定在[-2,2]的外邊.

≥2.…………13分

解得m≤-m.…………14分


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定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足:如果對(duì)任意x1、x2∈R,都有f()≤[f(x1)+f(x2)]則稱(chēng)函數(shù)f(x)是R上的凹函數(shù).

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+x(a∈R,a≠0)

(Ⅰ)求證:當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)f(x)是凹函數(shù).

(Ⅱ)如果x∈[0,1]時(shí),|f(x)|≤1,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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解答題:解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c

(1)

若任意x1,x2∈R,且x1<x2,都有f(x1)≠f(x2),求證:關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根且必有一個(gè)根屬于;

(2)

若關(guān)于x的方程的根為m,且成等差數(shù)列,設(shè)函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=x0,求證:x0<m2

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已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)的圖象與x軸有兩個(gè)不同點(diǎn)的公共點(diǎn),若f(c)=0,且0<x<c時(shí),f(x)>0.

(Ⅰ)試比較與c的大小;

(Ⅱ)證明:-2<b<-1;

(Ⅲ)當(dāng)c>1,t>0時(shí),求證:>0.

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解答題

已知二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為a,且不等式f(x)>-2x的解集為(1,3).

(1)

若方程f(x)+6a=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,求f(x)的解析式;

(2)

若f(x)的最大值為正數(shù),求a的取值范圍.

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