定義:若函數(shù)f(x)對(duì)于其定義域內(nèi)的某一數(shù)x0,有f(x0)=x0,則稱x0是f(x)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).已知函數(shù)f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0).
(1)當(dāng)a=1,b=-2時(shí),求函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn);
(2)若對(duì)任意的實(shí)數(shù)b,函數(shù)f(x)恒有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn),求a的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,若y=f(x)圖象上兩個(gè)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)是函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn),且A、B的中點(diǎn)C在函數(shù)g(x)=-x+
a
5a2-4a+1
的圖象上,求b的最小值.
(參考公式:A(x1,y1),B(x2,y2)的中點(diǎn)坐標(biāo)為(
x1+x2
2
,
y1+y2
2
)
分析:(I)將a=1,b=-2代入f(x)=ax2+(b+1)x+b-1 (a≠0),求出f(x),令f(x)=x,解方程求不動(dòng)點(diǎn)即可;
(II)由ax2+(b+1)x+b-1=x有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn),即ax2+bx+b-1=0有兩個(gè)不等實(shí)根,可通過判別式大于0得到關(guān)于參數(shù)a,b的不等式b2-4ab+4a>0,由于此不等式恒成立,配方可得b2-4ab+4a=(b-2a)2+4a-4a2>0恒成立,將此不等式恒成立轉(zhuǎn)化為4a-4a2>0即可.
(III)由于本小題需要根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱這一條件,故可以先設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1,x1),B(x2,x2)(x1≠x2),可以得到x1+x2=
a
5a2-4a+1
,由此聯(lián)想到根與系數(shù)的關(guān)系,由(II)知,x1、x2應(yīng)是方程ax2+bx+b-1=0的根,故又可得x1+x2=-
b
a
,至此題設(shè)中的條件轉(zhuǎn)化為-
b
a
=
a
5a2-4a+1
,觀察發(fā)現(xiàn)參數(shù)b可以表示成參數(shù)a的函數(shù)即 b=-
a2
5a2-4a+1
,至此,求參數(shù)b的問題轉(zhuǎn)化為求b關(guān)于a的函數(shù)最小值的問題.
解答:解:(1)f(x)=x2-x-3,由x2-x-3=x,
解得x=3或x=-1,所以所求的不動(dòng)點(diǎn)為-1或3.
(2)令ax2+(b+1)x+b-1=x,則ax2+bx+b-1=0①
由題意,方程①恒有兩個(gè)不等實(shí)根,所以△=b2-4a(b-1)>0,
即b2-4ab+4a>0恒成立,
則△'=16a2-16a<0,故0<a<1
(3)設(shè)A(x1,x1),B(x2,x2)(x1≠x2),g(x)=-x+
a
5a2-4a+1
,
又AB的中點(diǎn)在該直線上,所以
x1+x2
2
=-
x1+x2
2
+
a
5a2-4a+1
,
x1+x2=
a
5a2-4a+1
,
而x1、x2應(yīng)是方程①的兩個(gè)根,所以x1+x2=-
b
a
,即-
b
a
=
a
5a2-4a+1
,
b=-
a2
5a2-4a+1
=-
1
(
1
a
)
2
-4(
1
a
)+5
=-
1
(
1
a
-2)
2
+1

∴當(dāng)a=
1
2
∈(0,1)時(shí),bmin=-1
點(diǎn)評(píng):本題考點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì),主要考查二次函數(shù)、方程的基本性質(zhì)、不等式的有關(guān)知識(shí),同時(shí)考查函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、邏輯推理能力和創(chuàng)新意識(shí).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

給出定義:若函數(shù)f(x)在D上可導(dǎo),即f′(x)存在,且導(dǎo)函數(shù)f′(x)在D上也可導(dǎo),則稱f(x)在D上存在二階導(dǎo)函數(shù),記f″(x)=(f′(x))′,若f″(x)<0在D上恒成立,則稱f(x)在D上為凸函數(shù).以下四個(gè)函數(shù)在(0,
π
2
)
上不是凸函數(shù)的是(  )
A、f(x)=sinx+cosx
B、f(x)=lnx-2x
C、f(x)=-x3+2x-1
D、f(x)=-xe-x

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義:若函數(shù)f(x)對(duì)于其定義域內(nèi)的某一數(shù)x0,有 f (x0)=x0,則稱x0是f (x)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).已知函數(shù)f(x)=ax2+(b+1)x+b-1 (a≠0).
(Ⅰ)當(dāng)a=1,b=-2時(shí),求函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn);
(Ⅱ)若對(duì)任意的實(shí)數(shù)b,函數(shù)f(x)恒有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn),求a的取值范圍;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,若y=f(x)圖象上兩個(gè)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)是函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn),且A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+
a5a2-4a+1
對(duì)稱,求b的最小值.

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給出定義:若函數(shù)f(x)在D上可導(dǎo),即f′(x)存在,且導(dǎo)函數(shù)f′(x)在D上也可導(dǎo),則稱f(x)在D上存在二階導(dǎo)函數(shù),記f″(x)=[(f′(x)]′.若f(x)>0在D上恒成立,則稱f(x)在D上為凹函數(shù).以下四個(gè)函數(shù)在(0,
π
2
)
上不是 凹函數(shù)的是(  )
A、f(x)=1-sinx
B、f(x)=ex-2x
C、f(x)=x3-x2-1
D、f(x)=-xe-x

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•廣州模擬)定義:若函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過變換T后所得圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)的值域與f(x)的值域相同,則稱變換T是f(x)的同值變換.下面給出四個(gè)函數(shù)及其對(duì)應(yīng)的變換T,其中T不屬于f(x)的同值變換的是( 。

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給出定義:若函數(shù)f(x)在D上可導(dǎo),即f′(x)存在,且導(dǎo)函數(shù)f′(x)在D上也可導(dǎo),則稱f(x)在D上存在二階導(dǎo)函數(shù),記f″(x)=(f′(x))′.若f″(x)<0在D上恒成立,則稱f(x)在D上為上凸函數(shù).以下四個(gè)函數(shù)在(0,
π
2
)
上不是上凸函數(shù)的是( 。

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