【題目】

已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列{an2}的前n項(xiàng)和為Tn,且3TnSn2+2Sn,n∈N*

(Ⅰ)求a1的值

(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(Ⅲ)若kt∈N*,且S1,SkS1StSk成等比數(shù)列,求kt的值.

【答案】(1)1(2)an=2n-1n∈N*(3) k=2,t=3

【解析】試題分析:(1)由,得,解方程即可得結(jié)果;(2)因?yàn)?/span>,兩式相減可得再得,再相減可得是等差數(shù)列,從而可得結(jié)果;(3)由(2)可知,根據(jù)成等比數(shù)列可得,只需證明以上等式無整數(shù)解即可.

試題解析:(1)由3T1S12+2S1,得3a12a12+2a1,即a12a1=0.

因?yàn)?/span>a1>0,所以a1=1.

(2)因?yàn)?TnSn2+2Sn, ①

所以3Tn+1Sn+12+2Sn+1,②

②-①,得3an+12Sn+12Sn2+2an+1

因?yàn)?/span>an+1>0,

所以3an+1Sn+1Sn+2, ③

所以3an+2=Sn+2Sn+1+2,④

④-③,得3an+2-3an+1an+2an+1,即an+2=2an+1

所以當(dāng)n≥2時(shí),=2.

又由3T2S22+2S2,得3(1+a22)=(1+a2)2+2(1+a2),

a22-2a2=0.

因?yàn)?/span>a2>0,所以a2=2,所以=2,所以對(duì)n∈N*,都有=2成立,

所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1,n∈N*

(3)由(2)可知Sn=2n-1.

因?yàn)?/span>S1,SkS1,StSk成等比數(shù)列,

所以(SkS1)2S1(StSk),即(2k-2)2=2t-2k

所以2t=(2k)2-32k+4,即2t-2=(2k-1)2-32k-2+1(*).

由于SkS1≠0,所以k≠1,即k≥2.

當(dāng)k=2時(shí),2t=8,得t=3.

當(dāng)k≥3時(shí),由(*),得(2k-1)2-32k-2+1為奇數(shù),

所以t-2=0,即t=2,代入(*)得22k-2-32k-2=0,即2k=3,此時(shí)k無正整數(shù)解.

綜上,k=2,t=3.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】(本小題滿分12分)

某學(xué)校用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法抽取了100名同學(xué),對(duì)其日均課外閱讀時(shí)間(單位:分鐘)進(jìn)行調(diào)查,結(jié)果如下:

t

男同學(xué)人數(shù)

7

11

15

12

2

1

女同學(xué)人數(shù)

8

9

17

13

3

2

若將日均課外閱讀時(shí)間不低于60分鐘的學(xué)生稱為“讀書迷”.

(1)將頻率視為概率,估計(jì)該校4000名學(xué)生中“讀書迷”有多少人?

(2)從已抽取的8名“讀書迷”中隨機(jī)抽取4位同學(xué)參加讀書日宣傳活動(dòng).

(i)求抽取的4位同學(xué)中既有男同學(xué)又有女同學(xué)的概率;

(ii)記抽取的“讀書迷”中男生人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為A1B1 , CD的中點(diǎn).
(1)求| |
(2)求直線EC與AF所成角的余弦值;
(3)求二面角E﹣AF﹣B的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,設(shè)橢圓 的離心率為 分別為橢圓的左、右頂點(diǎn), 為右焦點(diǎn),直線的交點(diǎn)到軸的距離為,過點(diǎn)軸的垂線 上異于點(diǎn)的一點(diǎn),以為直徑作圓.

(1)求的方程;

(2)若直線的另一個(gè)交點(diǎn)為,證明:直線與圓相切.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某產(chǎn)品關(guān)稅與市場(chǎng)供應(yīng)量P的關(guān)系近似地滿足:P(x)=2 (其中t為關(guān)稅的稅率,且t∈[0, ],x為市場(chǎng)價(jià)格,b,k為正常數(shù)),當(dāng)t= 時(shí),市場(chǎng)供應(yīng)量曲線如圖所示:

(1)根據(jù)函數(shù)圖象求k,b的值;
(2)若市場(chǎng)需求量Q,它近似滿足Q(x)=2 .當(dāng)P=Q時(shí)的市場(chǎng)價(jià)格為均衡價(jià)格,為使均衡價(jià)格控制在不低于9元的范圍內(nèi),求稅率t的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)a>0,求函數(shù)f(x)在[2a,4a]上的最小值;
(3)某同學(xué)發(fā)現(xiàn):總存在正實(shí)數(shù)a、b(a<b),使ab=ba , 試問:他的判斷是否正確?若不正確,請(qǐng)說明理由;若正確,請(qǐng)直接寫出a的取值范圍(不需要解答過程).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在直三棱柱ABCA1B1C1中,ABAC,EBC的中點(diǎn),求證

(Ⅰ)平面AB1E⊥平面B1BCC1;

(Ⅱ)A1C//平面AB1E

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=2cos x(sin x+cos x).

(1)求f的值;

(2)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】 某廠生產(chǎn)不同規(guī)格的一種產(chǎn)品,根據(jù)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn),其合格產(chǎn)品的質(zhì)量與尺寸之間近似滿足關(guān)系式為大于的常數(shù)),現(xiàn)隨機(jī)抽取件合格產(chǎn)品,測(cè)得數(shù)據(jù)如下:

尺寸

質(zhì)量

對(duì)數(shù)據(jù)作了初步處理,相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如下表:

(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù),求關(guān)于的回歸方程;

(2)按照某項(xiàng)指標(biāo)測(cè)定,當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間內(nèi)時(shí)為優(yōu)等品,現(xiàn)從抽取的件合格產(chǎn)品中再任選件,記為取到優(yōu)等品的件數(shù),試求隨機(jī)變量的分布列和期望.

附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為.

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