Question

20．已知f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{x+1}{x-1}$，若對(duì)于區(qū)間[3，4]上的每一個(gè)x的值，不等式f（x）＞（$\frac{1}{2}$）^x+m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，-$\frac{9}{8}$）．

Answer 1

分析 由題意可得對(duì)區(qū)間[3，4]上的每一個(gè)x的值，不等式f（x）＞（$\frac{1}{2}$）^x+m恒成立，令h（x）=f（x）-（$\frac{1}{2}$）^x ，利用單調(diào)性求得h（x）的最小值，可得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{x+1}{x-1}$=${log}_{\frac{1}{2}}（1+\frac{2}{x-1}）$，∵由于$\frac{2}{x-1}$在 區(qū)間（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，故f（x）在[3，4]上單調(diào)遞增，
則對(duì)區(qū)間[3，4]上的每一個(gè)x的值，不等式f（x）＞（$\frac{1}{2}$）^x+m恒成立．
令h（x）=f（x）-（$\frac{1}{2}$）^x ，則得h（x）在[3，4]上單調(diào)遞增，
故h（x）的最小值為h（3）=-1-$\frac{1}{8}$=-$\frac{9}{8}$，∴m＜-$\frac{9}{8}$，
故答案為：$（-∞，-\frac{9}{8}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，汗水肚餓恒成立問題，求函數(shù)的值域，屬于中檔題．