分析 (Ⅰ)由已知平行四邊形中AC⊥BD,可得四邊形ABCD為菱形,故AB=BC,然后證明△ABS≌△CBS,得到SA=AC,結(jié)合AO=CO,可得SO⊥AC,再由線面垂直的判定可得AC⊥平面SBD;
(Ⅱ)由題意可得△ABC是等邊三角形,求出三角形ABC的面積,過點(diǎn)M作MN⊥BD,垂足為點(diǎn)N,結(jié)合(Ⅰ)可知MN⊥平面ABCD,求解直角三角形得到MN的長度,然后利用等積法求得三棱錐A-BMC的體積.
解答 (Ⅰ)證明:依題意,平行四邊形ABCD中,AC⊥BD,
故四邊形ABCD為菱形,故AB=BC,
∵AB=BC,∠SBC=∠SBA,SB=SB,
∴△ABS≌△CBS,
∴SA=AC,
∵AO=CO,故SO⊥AC,
又AC⊥BD,SO∩BD=O,SO?平面SBD,BD?平面SBD,
故AC⊥平面SBD;
(Ⅱ)解:依題意,△ABC是等邊三角形,AC=BC=2,
∴S△ABC=12×22sin60°=√3,
過點(diǎn)M作MN⊥BD,垂足為點(diǎn)N,
由(Ⅰ)知MN⊥AC,
故MN⊥平面ABCD,
在Rt△MBN中,MN=MBsin60°=√32,
故三棱錐A-BMC的體積為VA−BMC=VM−ABC=13×√3×√32=12.
點(diǎn)評 本題考查直線與平面垂直的判定,考查棱錐、棱錐及棱臺體積的求法,訓(xùn)練了等積法求三棱錐的體積,考查空間想象能力和思維能力,是中檔題.
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優(yōu) | 良 | 及格 | ||
數(shù)學(xué) | 優(yōu) | 8 | m | 9 |
良 | 9 | n | 11 | |
及格 | 8 | 9 | 11 |
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