.(本題滿分12分)如圖,三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1⊥面ABC,BC⊥AC,BC=AC=2,AA1=3,D為AC的中點(diǎn).

   (1)求證:AB1// 面BDC1;

  (2)求二面角C1—BD—C的余弦值;

   (3)在側(cè)棱AA­1上是否存在點(diǎn)P,使得

CP⊥面BDC1?并證明你的結(jié)論.

 

 

 

 

【答案】

 

(I)證明:

          連接B1C,與BC1相交于O,連接OD

        ∵BCC1B1是矩形,∴O是B1C的中點(diǎn).又D是AC的中點(diǎn),

∴OD//AB1.∵AB­1面BDC­1,OD面BDC1

∴AB1//面BDC1.           

(II)解:如力,建立空間直角坐標(biāo)系,則

         C1(0,0,0),B(0,3,2),C(0,3,0),A(2,3,0), D(1,3,0)

         設(shè)=(x1,y1,z1)是面BDC1的一個(gè)法向量,則

.…………6分

易知=(0,3,0)是面ABC的一個(gè)法向量.

∴二面角C1—BD—C的余弦值為 

   (III)假設(shè)側(cè)棱AA1上存在一點(diǎn)P(2,y,0)(0≤y≤3),使得CP⊥面BDC1.

         則

          ∴方程組無(wú)解.∴假設(shè)不成立. ∴側(cè)棱AA1上不存在點(diǎn)P,使CP⊥面BDC1.

 

【解析】略

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(Ⅰ)求證:⊥平面

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