Question

【題目】某商場(chǎng)柜臺(tái)銷(xiāo)售某種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為10元，并且每件產(chǎn)品需向該商場(chǎng)交a元（3≤a≤7）的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元（20≤x≤25）時(shí)，一天的銷(xiāo)售量為（x﹣30）2件． （Ⅰ）求該柜臺(tái)一天的利潤(rùn)f（x）（元）與每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，該柜臺(tái)一天的利潤(rùn)f（x）最大，并求出f（x）的最大值g（a）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）=（x﹣30）2（x﹣10﹣a），20≤x≤25 （Ⅱ）f'（x）=2（x﹣30）（x﹣10﹣a）+（x﹣30）2=（3x﹣2a﹣50）（x﹣30）．
令f'（x）=0，則 或x=30，
∵
∴①若 ，即3≤a≤5時(shí)，f'（x）≤0，x∈[20，25]，
∴f（x）在[20，25]上是減函數(shù)．
∴ =100（10﹣a）=1000﹣10a
②若5＜a≤7時(shí)，
當(dāng) 時(shí)，f'（x）＞0，此時(shí)f（x）在 是增函數(shù)；
當(dāng) 時(shí)，f'（x）＜0，此時(shí)f（x）在 是減函數(shù)．
∴ =
∴當(dāng)3≤a≤5時(shí)，售價(jià)為20元時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)g（a）為1000﹣10a；
當(dāng)5＜a≤7時(shí)，售價(jià)為 元時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)g（a）為
【解析】（Ⅰ）求出每件產(chǎn)品的利潤(rùn)，乘以?xún)r(jià)格得到利潤(rùn)L（萬(wàn)元）與每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；（Ⅱ）求出利潤(rùn)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由a的范圍得到導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的范圍，分類(lèi)討論原函數(shù)在[9，11]上的單調(diào)性，并求出a在不同范圍內(nèi)的利潤(rùn)函數(shù)的最值．