Question

某校組織的一次籃球定點投籃比賽，其中甲、乙、丙三人投籃命中率分別是

1

2

，a，a（0＜a＜1），三人各投一次，用ξ表示三人投籃命中的個數．
（1）求ξ的分布列及數學期望；
（2）在概率P（ξ=i）（i=0，1，2，3）中，若P（ξ=1）的值最大，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）易知ξ的可能取值為0，1，2，3．ξ的分布列符合二項分布，由此能求出ξ的分布列及數學期望；
（2）由P（ξ=1）的值最大，知P(ξ=1)-P(ξ=0)=

1

2

[(1-a2)-(1-a)2]=a(1-a)≥0，P(ξ=1)-P(ξ=2)=

1

2

[(1-a2)-(2a-a2)]=

1-2a

2

≥0，P(ξ=1)-P(ξ=3)=

1

2

[(1-a2)-a2]=

1-2a2

2

≥0，由此能求出a的取值范圍．

解答：解：（1）ξ的可能取值為0，1，2，3；
P(ξ=0)=

C

0 1

(1-

1

2

)

C

0 2

(1-a)2=

1

2

(1-a)2，
P(ξ=1)=

C

1 1

•

1

2

C

0 2

(1-a)2+

C

0 1

(1-

1

2

)

C

1 2

a(1-a)=

1

2

(1-a2)，
P(ξ=2)=

C

1 1

•

1

2

C

1 2

a(1-a)+

C

0 1

(1-

1

2

)

C

2 2

a2=

1

2

(2a-a2)，
P(ξ=3)=

C

1 1

•

1

2

C

2 2

a2=

a2

2

．

ξ	0	1	2	3
P	1 2 (1-a)2	1 2 (1-a2)	1 2 (2a-a2)	a2 2

所以ξ的分布列為ξ的數學期望為Eξ=0×

1

2

(1-a)2+1×

1

2

(1-a2)+2×

1

2

(2a-a2)+3×

a2

2

=

4a+1

2

．
（2）∵P（ξ=1）的值最大
∴P(ξ=1)-P(ξ=0)=

1

2

[(1-a2)-(1-a)2]=a(1-a)≥0，P(ξ=1)-P(ξ=2)=

1

2

[(1-a2)-(2a-a2)]=

1-2a

2

≥0，P(ξ=1)-P(ξ=3)=

1

2

[(1-a2)-a2]=

1-2a2

2

≥0．
解得0＜a≤

1

2

，
又∵0＜a＜1，∴0＜a≤

1

2

，
當a的取值范圍是(0，  

1

2

]時，P（ξ=1）的值最大．

點評：本題考查二項分布的性質和應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地運用二項分布的性質解題．