Question

10．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，且經(jīng)過點(diǎn)A（1，2），過點(diǎn)F的直線與拋物線C交于P，Q兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OP，OQ與直線x=-$\frac{p}{2}$分別交于S，T兩點(diǎn)，試判斷$\overrightarrow{FS}$•$\overrightarrow{FT}$是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把點(diǎn)A（1，2）代入拋物線C的方程，解得p=2，即可求出拋物線方程．
（Ⅱ）求出拋物線的準(zhǔn)線方程x=-1，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0），設(shè)出直線PQ的方程為x=ty+1，求出PQ坐標(biāo)，求出直線OP的方程，直線OQ的方程，然后求出S，T的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與拋物線方程，通過韋達(dá)定理，結(jié)合$\overrightarrow{FS}•\overrightarrow{FT}$化簡求解即可．

解答 （本小題共13分）
解：（Ⅰ）把點(diǎn)A（1，2）代入拋物線C的方程y²=2px，得4=2p，解得p=2，
所以拋物線C的方程為y²=4x．…．（4分）
（Ⅱ）因?yàn)閜=2，所以直線$x=-\frac{p}{2}$為x=-1，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0）
設(shè)直線PQ的方程為x=ty+1，$P（\frac{{{y_1}^2}}{4}，{y_1}）$，$Q（\frac{{{y_2}^2}}{4}，{y_2}）$，
則直線OP的方程為$y=\frac{4}{y_1}x$，直線OQ的方程為$y=\frac{4}{y_2}x$．…．（5分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{4}{y_1}x\\ x=-1\end{array}\right.$得$S（-1，-\frac{4}{y_1}）$，同理得$T（-1，-\frac{4}{y_2}）$． …．（7分）
所以$\overrightarrow{FS}=（-2，-\frac{4}{y_1}）$，$\overrightarrow{FT}=（-2，-\frac{4}{y_2}）$，則$\overrightarrow{FS}•\overrightarrow{FT}=4+\frac{16}{{{y_1}{y_2}}}$．        …．（9分）
由$\left\{\begin{array}{l}x=ty+1\\{y^2}=4x\end{array}\right.$得y²-4ty-4=0，所以y₁y₂=-4，…．（11分）
則$\overrightarrow{FS}•\overrightarrow{FT}=4+\frac{16}{（-4）}$=4-4=0．
所以，$\overrightarrow{FS}•\overrightarrow{FT}$的值是定值，且定值為0．…．（13分）

點(diǎn)評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)以及拋物線方程的求法，直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．