Question

如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，BD是對角線，過點A作AE⊥BD，垂足為O，交CD于E，以AE為折痕將△ADE向上折起，使點D到點P的位置，且PB＝.

(1)求證：PO⊥平面ABCE；

(2)求二面角E­AP­B的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

(1)見解析   (2)

【解析】解：(1)證明：由已知得AB＝3，AD＝6，

∴BD＝9.

在矩形ABCD中，∵AE⊥BD，

∴Rt△AOD∽Rt△BAD，

∴＝，∴DO＝4，∴BO＝5.

在△POB中，PB＝，PO＝4，BO＝5，

∴PO²＋BO²＝PB²，

∴PO⊥OB.又PO⊥AE，AE∩OB＝O，

∴PO⊥平面ABCE.

(2)∵BO＝5，

∴AO＝＝2.

以O為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則P(0,0,4)，

A(2，0,0)，B(0,5,0)，

＝(2，0，－4)，＝(0,5，－4)．

設n₁＝(x，y，z)為平面APB的法向量．

則即

取x＝2得n₁＝(2，4,5)．

又n₂＝(0,1,0)為平面AEP的一個法向量，

∴cos〈n₁，n₂〉＝＝＝，

故二面角E­AP­B的余弦值為.