Question

已知：f（x）=2cos²x+sin2x-+1（x∈R）．求：
（Ⅰ）f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅲ）若x∈[-，]時，求f（x）的值域．

Answer 1

解：f（x）=sin2x+（2cos²x-1）+1
=sin2x+cos2x+1
=2sin（2x+）+1---------------------------------------（4分）
（Ⅰ）函數(shù)f（x）的最小正周期為T==π------------------（5分）
（Ⅱ）由2kπ-≤2x+≤2kπ+
得2kπ-≤2x≤2kπ+
∴kπ-≤x≤kπ+，k∈Z
函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-，kπ+]，k∈Z-----------------（9分）
（Ⅲ）因為x∈[-，]，∴2x+∈[-，]，
∴sin（2x+）∈[，1]，∴f（x）∈[0，3]．-----------------------------------（13分）
分析：（I）利用二倍角公式，平方關(guān)系，兩角和的正弦函數(shù)，化簡函數(shù)y=2cos²x+sin2x-+1，為一個角的一個三角函數(shù)的形式，然后直接求出最小正周期；
（II）將2x+看成整體在[2kπ-，2kπ+]上單調(diào)遞增，然后求出x的取值范圍，從而求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
（III）根據(jù)x∈[-，]，求出2x+的范圍，從而求出sin（2x+）的取值范圍，從而求出f（x）的值域．
點評：本題考查三角函數(shù)的最值，三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查計算能力，此類題目的解答，關(guān)鍵是基本的三角函數(shù)的性質(zhì)的掌握熟練程度，是基礎(chǔ)題．