Question

將函數(shù)y=

-x2+4x

-

3

，x∈[1，3]的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（θ為銳角）若所得曲線仍是一個(gè)函數(shù)的圖象，則θ的最大值為（　�。�

• A、

  π

  6

• B、

  π

  4

• C、

  π

  3

• D、

  π

  2

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象

專題：綜合題,直線與圓

分析：求出曲線過原點(diǎn)的切線的斜率，可得切線的傾斜角為 30°．因此，可得要使旋轉(zhuǎn)后的圖象仍為一個(gè)函數(shù)的圖象，最大旋轉(zhuǎn)角為 90°-30°=60°．

解答： 解：設(shè)y=

-x2+4x

-

3

，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)在[1，2]上為增函數(shù)，在[2，3]上為減函數(shù)．
由函數(shù)y=

-x2+4x

-

3

，x∈[1，3]，可得圖象所在圓心坐標(biāo)為（2，0），
設(shè)曲線的切線的斜率為k，方程為y=kx，則圓心到直線的距離

|2k|

k2+1

=2
所以k=

3

3

，可得切線的傾斜角為 30°，
因此，要使旋轉(zhuǎn)后的圖象仍為一個(gè)函數(shù)的圖象，
旋轉(zhuǎn)θ后的切線傾斜角最多為 90°，
也就是說，最大旋轉(zhuǎn)角為 90°-30°=60°，即θ的最大值為60°
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題給出二次式作為被開方數(shù)的一個(gè)函數(shù)，將函數(shù)圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ后，所得曲線仍是一個(gè)函數(shù)的圖象，求角θ的最大值，著重考查了函數(shù)的圖象與圖象變化等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．