Question

1．甲方有一農(nóng)場，乙方有一工廠．由于乙方生產(chǎn)須占用甲方的資源，因此甲方有權(quán)向乙方索賠以彌補(bǔ)經(jīng)濟(jì)損失并獲得一定凈收入，在乙方不賠付甲方的情況下，乙方的年利潤x（元）與年產(chǎn)量t（噸）滿足函數(shù)關(guān)系x=2000t${\;}^{\frac{1}{2}}$．若乙方每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付甲方s元（以下稱s為賠付價(jià)格）．
（1）將乙方的利潤w（元）表示為年產(chǎn)量t（噸）的函數(shù)，并求出乙方獲得最大利潤的年產(chǎn)量；
（2）甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟(jì)損失金額y=0.002t²（元），在乙方按照獲得最大利潤的產(chǎn)量進(jìn)行生產(chǎn)的前提下，甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應(yīng)向乙方要求的賠付價(jià)格s是多少？

Answer 1

分析 （1）由已知中賠付價(jià)格為s元/噸，所以乙方的實(shí)際年利潤為w=2000$\sqrt{t}$-st．我們利用導(dǎo)數(shù)法易求出乙方取得最大年利潤的年產(chǎn)量
（2）由已知得，若甲方凈收入為v元，則v=st-0.002t²．再由x=2000t${\;}^{\frac{1}{2}}$．我們可以得到甲方凈收入v與賠付價(jià)格s之間的函數(shù)關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)法，我們易求出答案．

解答 解：（1）因?yàn)橘r付價(jià)格為s元/噸，所以乙方的實(shí)際年利潤為w=2000$\sqrt{t}$-st．
由w′=$\frac{1000}{\sqrt{t}}-s$，
令w'=0，得t=t₀=$（\frac{1000}{s}）^{2}$．
當(dāng)t＜t₀時(shí)，w'＞0；當(dāng)t＞t₀時(shí)，w'＜0，
所以t=t₀時(shí)，w取得最大值．
因此乙方取得最大年利潤的年產(chǎn)量t₀為$（\frac{1000}{s}）^{2}$（噸）；
（2）設(shè)甲方凈收入為v元，則v=st-0.002t²．
將t=$（\frac{1000}{s}）^{2}$代入上式，得到甲方凈收入v與賠付價(jià)格s之間的函數(shù)關(guān)系式v=$\frac{1{0}^{6}}{s}-\frac{2}{{s}^{4}}×1{0}^{9}$．
又v′=$\frac{1{0}^{6}×（8000-{s}^{3}）}{{s}^{5}}$，
令v'=0，得s=20．
當(dāng)s＜20時(shí)，v'＞0；當(dāng)s＞20時(shí)，v'＜0，
所以s=20時(shí)，v取得最大值．
因此甲方應(yīng)向乙方要求賠付價(jià)格s=20（元/噸）時(shí)，獲最大凈收入．

點(diǎn)評 函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題，我們要經(jīng)過析題→建模→解�！�還原四個(gè)過程，在建模時(shí)要注意實(shí)際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時(shí)也要實(shí)際問題實(shí)際考慮．將實(shí)際的最大（�。┗瘑栴}，利用函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（�。┦亲顑�(yōu)化問題中，最常見的思路之一．