Question

函數(shù)y=x³-3x²+bx+c的圖象如圖所示，且與直線y=0在原點(diǎn)相切．
（1）求b、c的值；
（2）求函數(shù)的極小值；
（3）求函數(shù)的遞減區(qū)間．

Answer 1

解：（1）函數(shù)的圖象經(jīng)過（0，0）點(diǎn)，
∴c=0．
又圖象與x軸相切于（0，0）點(diǎn)，
y'=3x²-6x+b，
∴0=3×0²-6×0+b，
解得b=0．
（2）y=x³-3x²，
y'=3x²-6x，
當(dāng)x＜2時，y'＜0；當(dāng)x＞2時，y'＞0．
則當(dāng)x=2時，函數(shù)有極小值-4．
（3）y'=3x²-6x＜0，
解得0＜x＜2，
∴遞減區(qū)間是（0，2）．
分析：（1）根據(jù)函數(shù)的圖象經(jīng)過（0，0）點(diǎn)得到c=0，又圖象與x軸相切于（0，0）點(diǎn)，令導(dǎo)函數(shù)在x=0處的值為0得到b的值．
（2）求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)為0得到根，判斷根左右兩邊的符號，求出函數(shù)的極小值．
（3）求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)小于0得到x的范圍，寫出區(qū)間即為函數(shù)的遞減區(qū)間．
點(diǎn)評：解決函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題，常利用的工具是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．但要注意導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)處的值為0是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件而不是充要條件．