Question

某公司生產(chǎn)產(chǎn)品A，產(chǎn)品質量按測試指標分為：指標大于或等于90為一等品，大于或等于80小于90為二等品，小于80為三等品，生產(chǎn)一件一等品可盈利50元，生產(chǎn)一件二等品可盈利30元，生產(chǎn)一件三等品虧損10元．現(xiàn)隨機抽查熟練工人甲和新工人乙生產(chǎn)的這種產(chǎn)品各100件進行檢測，檢測結果統(tǒng)計如下：

測試指標	[70，75）	[75，80）	[80，85）	[85，90）	[90，95）	[95，100）
甲	3	7	20	40	20	10
乙	5	15	35	35	7	3

現(xiàn)將根據(jù)上表統(tǒng)計得到甲、乙兩人生產(chǎn)產(chǎn)品A為一等品、二等品、三等品的頻率分別估計為他們生產(chǎn)產(chǎn)品A為一等品、二等品、三等品的概率．
（1）計算新工人乙生產(chǎn)三件產(chǎn)品A，給工廠帶來盈利大于或等于100元的概率；
（2）記甲乙分別生產(chǎn)一件產(chǎn)品A給工廠帶來的盈利和記為X，求隨機變量X的概率分布和數(shù)學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,互斥事件的概率加法公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）由已知條件，利用互斥事件的概率加法公式能求出他們生產(chǎn)產(chǎn)品A為一等品、二等品、三等品的概率．
（2））隨機變量X的所有可能取值為100，80，60，40，20，-20．分別求出相對應的概率，由此能求出隨機變量X的概率分布和數(shù)學期望．

解答： 解：（1）甲生產(chǎn)一件產(chǎn)品A為一等品、二等品、三等品的概率分別為

3

10

，

6

10

，

1

10

，…（3分）
乙生產(chǎn)一件產(chǎn)品A為一等品、二等品、三等品的概率分別為

1

10

，

7

10

，

2

10

，…（6分）
新工人乙生產(chǎn)三件產(chǎn)品A，給工廠帶來盈利大于或等于100元的情形有：
三件都是一等品；二件是一等品、一件是二等品或一件是一等品、二件是二等品，
概率為：p=（

1

10

）³+3•（

1

10

）²•

7

10

+3•

1

10

•(

7

10

)2=

169

1000

．…（8分）
（2））隨機變量X的所有可能取值為100，80，60，40，20，-20．
P（X=100）=

3

10

×

1

10

=

3

100

，
P（X=80）=

3

10

×

7

10

+

1

10

×

6

10

=

27

100

，
P（X=60）=

6

10

×

7

10

=

42

100

，
P（X=40）=

3

10

×

2

10

+

1

10

×

1

10

=

7

100

，
P（X=20）=

6

10

×

2

10

+

1

10

×

7

10

=

19

100

，
P（X=-20）=

1

10

×

2

10

=

2

100

，
∴隨機變量X的概率分布為：

X	100	80	60	40	20	-20
P	3 100	27 100	42 100	7 100	19 100	2 100

…（10分）
隨機變量X的數(shù)學期望EX=100×

3

100

+80×

27

100

+60×

42

100

+40×

7

100

+20×

19

100

+(-20)×

2

100

=56（元）…（12分）

點評：本題考查概率的計算，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．