Question

已知向量

m

=（1+cosB，sinB）與向量

n

=（0，1）的夾角為

π

3

，其中A、B、C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角．
（1）求角B的大��；
（2）若AC=2

3

，求△ABC周長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平面向量的夾角公式列出cos

π

3

，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)得到關(guān)于cosB的方程，求出方程的解即可得到cosB的值，由B的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；
（2）設(shè)出三角形的三邊，由b的值表示出三角形的周長(zhǎng)，利用正弦定理化簡(jiǎn)后，把（1）求出的sinB代入，再利用和差化積公式及特殊角的三角函數(shù)公式化為一個(gè)角的余弦函數(shù)，由A的范圍，利用余弦函數(shù)的值域即可求出周長(zhǎng)的最大值．

解答：解：（1）cos＜

m

，

n

＞=cos

π

3

=

1

2

=

m • n

| m || n |

=

sinB

(1+cosB)2+sin2B •1

，
∴

sin2B

2+2cosB

=

1

4

，（2分）即2cos²B+cosB-1=0，
∴cosB=

1

2

或cosB=-1（舍）（4分）
而B∈（0，π），∴B=

π

3

（6分）
（2）令A(yù)B=c，BC=a，AC=b，△ABC的周長(zhǎng)為l，則l=a+c+2

3

而a=b•

sinA

sinB

，c=b•

sin( 2 3 π-A)

sinB

，
∴l(xiāng)=

b

sinB

[

3

2

+sinA+sin(

2

3

π-A)]=2

3

+4[sinA+sin(

2

3

π-A)]
=2

3

+4×2sin

π

3

cos(-

π

3

+A)=2

3

+4

3

cos(A-

π

3

)（10分）
∵A∈（0，

2π

3

），∴A-

π

3

∈(-

π

3

，

π

3

)，
當(dāng)且僅當(dāng)A=

π

3

時(shí)，lmax=2

3

+4

3

=6

3

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握平面向量的夾角公式，靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)求值，靈活運(yùn)用正弦定理及和差化積公式化簡(jiǎn)求值，掌握余弦函數(shù)的值域，是一道中檔題．