Question

某玩具生產(chǎn)廠家接到一生產(chǎn)倫敦奧運(yùn)吉祥物的生產(chǎn)訂單，據(jù)以往數(shù)據(jù)分析，若生產(chǎn)數(shù)量為x萬(wàn)件，則可獲利-lnx+

x2

10

萬(wàn)美元，受美聯(lián)貨幣政策影響，美元貶值，獲利將因美元貶值而損失mx萬(wàn)美元，其中m為該時(shí)段美元的貶值指數(shù)，且m∈（0，1）．
（1）若美元貶值指數(shù)m=

1

10

，為使得企業(yè)生產(chǎn)獲利隨x的增加而增長(zhǎng)，該企業(yè)生產(chǎn)數(shù)量應(yīng)在什么范圍？
（2）若因運(yùn)輸?shù)绕渌�方面的影響，使得企業(yè)生產(chǎn)x萬(wàn)件產(chǎn)品需增加生產(chǎn)成本

x

10

萬(wàn)美元，已知該企業(yè)生產(chǎn)能力為x∈[10，20]，試問(wèn)美元貶值指數(shù)m在什么范圍內(nèi)取值才能使得該企業(yè)不虧損？

Answer 1

分析：（1）先確定利潤(rùn)函數(shù)，再求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)大于0，即可求得結(jié)論；
（2）企業(yè)生產(chǎn)部出現(xiàn)虧損，則當(dāng)x∈[10，20]時(shí)，都有-lnx+

x2

10

-

1

10

x-mx≥0，分離參數(shù)，再求最值，即可確定m的取值范圍．

解答：解：（1）若美元貶值指數(shù)m=

1

10

，則企業(yè)獲得利潤(rùn)是f（x）=-lnx+

1

10

x2-0.1x（x＞0）
∴f′（x）=-

1

x

+

x

5

-0.1=

x2-0.5x-5

5x

令f′（x）＞0，可得x²-0.5x-5＞0，∴x＜-2或x＞2.5，
∵x＞0，∴x＞2.5
即x＞2.5時(shí)，企業(yè)生產(chǎn)獲利隨x的增加而增長(zhǎng)；
（2）由題意，企業(yè)生產(chǎn)部出現(xiàn)虧損，則
當(dāng)x∈[10，20]時(shí)，都有-lnx+

x2

10

-

1

10

x-mx≥0
∴x∈[4，10]時(shí)，

1

10

+m≤

x

10

-

lnx

x

，
令g（x）=

x

10

-

lnx

x

，則g′（x）=

x2+10lnx-10

10x2

令h（x）=x²+10lnx-10，則h′（x）=2x+

10

x

＞0恒成立，
∴h（x）在[10，20]上單調(diào)遞增
∴h（10）≤h（x）≤h（20）
∵h(yuǎn)（10）＞0，∴h（x）＞0恒成立
∴g′（x）＞0
∴g（x）在[10，20]上單調(diào)遞增，
∴g（x）_min=1-

ln10

10

∴m≤

9-ln10

10

∴m的取值范圍是（0，

9-ln10

10

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查恒成立問(wèn)題，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．