Question

8．已知x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-y≥0\\ x+y≤2\\ y≥0\end{array}\right.$，則點(diǎn)P（x，y）所在區(qū)域的面積是1；若z=ax+y的最大值為4，則實(shí)數(shù)a的值為2．

Answer 1

分析 先利用二元一次不等式（組）與平面區(qū)域，根據(jù)約束條件畫出可行域，然后求出區(qū)域的面積即可．
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合確定z的最大值

解答 解：第一問：先畫出約束條件約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-y≥0\\ x+y≤2\\ y≥0\end{array}\right.$的所表示的區(qū)域所圍成圖形是一個(gè)三角形ABC，如圖
可知B（1，1）
A（2，0），
x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-y≥0\\ x+y≤2\\ y≥0\end{array}\right.$，則點(diǎn)P（x，y）所在區(qū)域的面積就是三角形的面積=S_△OAB=$\frac{1}{2}$×2×1=1．
故答案為：1；
第二問：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．
則A（2，0），B（1，1），
若z=ax+y過A時(shí)取得最大值為4，則2a=4，解得a=2，
此時(shí)，目標(biāo)函數(shù)為z=2x+y，
即y=-2x+z，
平移直線y=-2x+z，當(dāng)直線經(jīng)過A（2，0）時(shí)，截距最大，此時(shí)z最大為4，滿足條件，
若z=ax+y過B時(shí)取得最大值為4，則a+1=4，解得a=3，
此時(shí)，目標(biāo)函數(shù)為z=3x+y，
即y=-3x+z，
平移直線y=-3x+z，當(dāng)直線經(jīng)過A（2，0）時(shí)，截距最大，此時(shí)z最大為6，不滿足條件，
故a=2；
故答案為：2．

點(diǎn)評 本題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組和圍成區(qū)域的面積，目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法，確定目標(biāo)函數(shù)的斜率關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．