Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx+ax2+x（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處的切線平行于x軸，求實數(shù)a的值，并求此時函數(shù)f（x）的極值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）=lnx+ax2+x的定義域為（0，+∞），f′（x）= +2ax+1，

依題意有f′（1）=1+2a+1=0，解得a=﹣1．

此時，f′（x）= ，∴當0＜x＜1時，f′（x）＞0，當x＞1時，f′（x）＜0，

∴函數(shù)f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)，

∴當x=1時，函數(shù)f（x）取得極大值，極大值為0

（2）解：因為f′（x）= ，

（ⅰ）當a≥0時，因為x∈（0，+∞），所以f′（x）= ＞0，此時函數(shù)f（x）在（0+∞）是增函數(shù)．

（ⅱ）當a＜0時，令f′（x）=0，則2ax2+x=1=0．因為△=1﹣8a＞0，

此時，f′（x）= = ，

其中，x1=﹣ ，x2=﹣ ．

因為a＜0，所以 x2＞0，又因為 x1x2= ＜0，所以x1＜0．

∴當0＜x1＜x2時，f′（x）＞0，當x1＞x2時，f′（x）＜0，

∴函數(shù)f（x）在（0，x2）上是增函數(shù)，在（x2，+∞）上是減函數(shù)．

綜上可知，當a≥0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）；

當a＜0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，﹣ ），單調(diào)遞減區(qū)間是（﹣ ，+∞）

【解析】（1）由條件求得f′（x），再根據(jù)有f′（1）=0，求得a的值．（2）由條件求得f′（x），分類討論、利用導(dǎo)數(shù)的符號求粗函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
【考點精析】通過靈活運用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值即可以解答此題．