Question

已知函數(shù)f（x）=(x-k)2e

x

k

．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對?x∈（0，+∞），都有f（x）≤

1

e

，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負，可得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）對?x∈（0，+∞），都有f（x）≤

1

e

，等價于對?x∈（0，+∞），都有f（x）_max≤

1

e

，由此可求k的取值范圍．

解答：解：（1）f′（x）=

1

k

(x2-k2)e

x

k

，
令f′（x）=0得x=±k…．（3分）
當k＞0時，f（x）在（-∞，-k）和（k，+∞）上遞增，在（-k，k）上遞減；
當k＜0時，f（x）在（-∞，k）和（-k，+∞）上遞減，在（k，-k）上遞增…（8分）
（2）當k＞0時，f（k+1）=e

k+1

k

＞

1

e

，所以不可能對?x∈（0，+∞），都有f（x）≤

1

e

；
當k＜0時，由（1）知f（x）在（0，+∞）上的最大值為f（-k）=

4k2

e

，所以對?x∈（0，+∞），都有f（x）≤

1

e

即

4k2

e

≤

1

e

，∴-

1

2

≤k＜0，
故對?x∈（0，+∞），都有f（x）≤

1

e

時，k的取值范圍為[-

1

2

，0）．…．（14分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，考查函數(shù)的最值，屬于中檔題．