Question

13．直角三角形ABC中角A，B，C對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，∠C=90°．
（1）若三角形面積為2，求斜邊長(zhǎng)c最小值；
（2）試比較aⁿ+bⁿ與cⁿ（n∈N^*）的大小，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由$S=\frac{1}{2}$ab=2，可得：ab=4．由∠C=90°，可得a²+b²=c²，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
（2）①當(dāng)n=1時(shí)，利用三角形三邊大小關(guān)系可得a+b＞c；
②當(dāng)n=2時(shí)，由∠C=90°，利用勾股定理可得a²+b²=c²；
③當(dāng)n≥3時(shí)，設(shè)cosθ=$\frac{a}{c}$，sinθ=$\frac{c}$，$θ∈（0，\frac{π}{2}）$．由$（\frac{a}{c}）^{n}+（\frac{c}）^{n}$=cosⁿθ+sinⁿθ，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）∵$S=\frac{1}{2}$ab=2，∴ab=4．
∵∠C=90°，
∴a²+b²=c²≥2ab=8，解得c≥$2\sqrt{2}$．當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào)．
∴斜邊長(zhǎng)c最小值為2$\sqrt{2}$．
（2）①當(dāng)n=1時(shí)，a+b＞c；
②當(dāng)n=2時(shí)，∵∠C=90°，∴a²+b²=c²；
③當(dāng)n≥3時(shí)，設(shè)cosθ=$\frac{a}{c}$，sinθ=$\frac{c}$，$θ∈（0，\frac{π}{2}）$．
則$（\frac{a}{c}）^{n}+（\frac{c}）^{n}$=cosⁿθ+sinⁿθ＜cos²θ+sin²θ=1，
∴aⁿ+bⁿ＜cⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、三角形三邊大小關(guān)系、勾股定理、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．