Question

4．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=1，na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1），n∈N^*．
（I）證明：數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）若T_n=a₁-a₂+a₃-a₄+…+（-1）ⁿ⁺¹•a_n，求T_n．

Answer 1

分析 （I）由na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1）知$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=1，從而證明數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列；
（Ⅱ）由（I）可得a_n=n²，從而分類討論以求T_n．

解答 解：（I）證明：∵na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{a}_{n}}{n}$+1，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=1，
又∵$\frac{{a}_{1}}{1}$=1；
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列；
（Ⅱ）由（I）知，$\frac{{a}_{n}}{n}$=1+n-1=n，
故a_n=n²，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
T_n=a₁-a₂+a₃-a₄+…+（-1）ⁿ⁺¹•a_n
=（1²-2²）+（3²-4²）+（5²-6²）+…+（（n-2）²-（n-1）²）+n²
=-3-7-11-…-2n+3+n²
=-$\frac{n（n-1）}{2}$+n²=-$\frac{n（n+1）}{2}$；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
T_n=a₁-a₂+a₃-a₄+…+（-1）ⁿ⁺¹•a_n
=（1²-2²）+（3²-4²）+（5²-6²）+…+（（n-1）²-n²）
=-3-7-11-…-2n+1
=-$\frac{n（n-1）}{2}$+n²=$\frac{n（n+1）}{2}$；
綜上所述，T_n=（-1）ⁿ$\frac{n（n+1）}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了整體思想與分類討論的思想應(yīng)用及構(gòu)造法的應(yīng)用．