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4.數(shù)列{an}滿足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N*
(I)證明:數(shù)列{ann}是等差數(shù)列;
(Ⅱ)若Tn=a1-a2+a3-a4+…+(-1)n+1•an,求Tn

分析 (I)由nan+1=(n+1)an+n(n+1)知an+1n+1-ann=1,從而證明數(shù)列{ann}是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列;
(Ⅱ)由(I)可得an=n2,從而分類討論以求Tn

解答 解:(I)證明:∵nan+1=(n+1)an+n(n+1),
an+1n+1=ann+1,
an+1n+1-ann=1,
又∵a11=1;
∴數(shù)列{ann}是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列;
(Ⅱ)由(I)知,ann=1+n-1=n,
故an=n2
當n為奇數(shù)時,
Tn=a1-a2+a3-a4+…+(-1)n+1•an
=(12-22)+(32-42)+(52-62)+…+((n-2)2-(n-1)2)+n2
=-3-7-11-…-2n+3+n2
=-nn12+n2=-nn+12
當n為偶數(shù)時,
Tn=a1-a2+a3-a4+…+(-1)n+1•an
=(12-22)+(32-42)+(52-62)+…+((n-1)2-n2
=-3-7-11-…-2n+1
=-nn12+n2=nn+12
綜上所述,Tn=(-1)nnn+12

點評 本題考查了數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應用,同時考查了整體思想與分類討論的思想應用及構(gòu)造法的應用.

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