Question

16．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，橢圓的右焦點(diǎn)F（c，0），橢圓的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，原點(diǎn)到直線AB的距離為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）判斷在x軸上是否存在異于F的一點(diǎn)G，滿足過點(diǎn)G且斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，P是點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，N、F、P三點(diǎn)共線，若存在，求出點(diǎn)G坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （I）運(yùn)用離心率公式和點(diǎn)到直線的距離公式，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）在x軸上假設(shè)存在異于F的一點(diǎn)G，設(shè)為（n，0），設(shè)直線l的方程為y=k（x-n），代入橢圓方程x²+2y²=2，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及三點(diǎn)共線的條件：斜率相等，化簡整理，可得n=2，進(jìn)而判斷存在G（2，0）．

解答 解：（I）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
直線AB的方程為bx+ay=ab，
由題意可得$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
又a²-b²=c²，解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1，即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（Ⅱ）在x軸上假設(shè)存在異于F的一點(diǎn)G，設(shè)為（n，0），
設(shè)直線l的方程為y=k（x-n），代入橢圓方程x²+2y²=2，
可得（1+2k²）x²-4nk²x+2k²n²-2=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=$\frac{4n{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}{n}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
由假設(shè)可得P（x₁，-y₁），F(xiàn)（1，0），N（x₂，y₂）三點(diǎn)共線，可得
k_PN=k_NF，即$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}$，
由y₁=k（x₁-n），y₂=k（x₂-n），可得
（x₁+x₂-2n）（x₂-1）=（x₂-x₁）（x₂-n），
化簡為（n+1）（x₁+x₂）-2x₁x₂-2n=0，
即有（n+1）•$\frac{4n{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$-2•$\frac{2{k}^{2}{n}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$-2n=0，
化簡可得n=2，
代入判別式可得2k²＜1，故存在異于F的一點(diǎn)G，且為（2，0），
使N、F、P三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和點(diǎn)到直線的距離公式，考查存在性問題的解法，注意運(yùn)用直線和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和三點(diǎn)共線的條件：斜率相等，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．