Question

定義域（-1，1）上的函數(shù)f（x）滿足：f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

），當(dāng)x∈（0，1）時，有f（x）＜0，若P=f（-

1

5

）+f（-

1

11

），Q=f（-

1

2

），R=f（0），則P，Q，R的大小關(guān)系是（　　）

• A、R＞Q＞P
• B、Q＞P＞R
• C、P＞R＞Q
• D、R＞P＞Q

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)條件判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性結(jié)合抽象函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： 解：令x=y=0，得f（0）=0．
又當(dāng)x=0時，f（0）-f（y）=f（-y），即f（-y）=-f（y）．
∴對任意x∈（-1，1）時，都有f（-x）=-f（x）．
∴f（x）為奇函數(shù)．
則P=f（-

1

5

）+f（-

1

11

）=f（-

1

5

）-f（

1

11

）=f（

- 1 5 - 1 11

1+ 1 5 × 1 11

）=f（-

2

7

），
（2）任取x₁，x₂∈（-1，1）且設(shè)x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=f（

x1-x2

1-x1x2

），
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴x₁-x₂＜0，則|x₁x₂|＜1，
∴1-x₁x₂＞0，
∴

x1-x2

1-x1x2

＜0，
∵當(dāng)x∈（0，1）時，有f（x）＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（

x1-x2

1-x1x2

）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
則函數(shù)f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)，
∵-

1

2

＜-

2

7

＜0，
∴f（-

1

2

）＜f（-

2

7

）＜f（0），
即R＞P＞Q，
故選：D

點評：本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一點的難度．