Question

已知函數(shù)f（x）＝x＋，且f（1）＝2．

（1）求；

（2）判斷的奇偶性；

（3）函數(shù)在上是增函數(shù)還是減函數(shù)?并證明．

Answer 1

（1）；（2）奇函數(shù)；（3）增函數(shù).

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意將帶入的解析式中，得到關(guān)于的方程，進而求得的值；（2）根據(jù)（1）得到，再根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷其奇偶性，首先確定定義域關(guān)于原點對稱，其次判斷與的關(guān)系，得到，則原函數(shù)為奇函數(shù)；（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，首先在任取且，帶入函數(shù)中，用作差法比較與的大小，得到所以原函數(shù)在上為增函數(shù).

試題解析：（1）f（1）=1＋m＝2，m＝1． 2分

（2）f（x）＝x＋，f（－x）＝－x－＝－f（x），∴f（x）是奇函數(shù)． 6分

（3）設x1、x2是（1，＋∞）上的任意兩個實數(shù)，且x1＜x2，則 7分

f（x1）－f（x2）＝x1＋－（x2＋）＝x1－x2＋（－）

＝x1－x2－＝（x1－x2）． 10分

當1＜x1＜x2時，x1x2＞1，x1x2－1＞0，從而f（x1）－f（x2）＜0，

即f（x1）＜f（x2）．

∴函數(shù)f（x）＝＋x在（1，＋∞）上為增函數(shù)． 12分

考點：1.函數(shù)解析式；2.函數(shù)奇偶性；3.函數(shù)單調(diào)性.