Question

17.如圖，四棱錐S—ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=.

　　（Ⅰ）求證BC⊥SC；

　�。á颍┣竺�ASD與面BSC所成二面角的大小；

　　（Ⅲ）設(shè)棱SA的中點(diǎn)為M，求異面直線DM與SB所成角的大小.

Answer 1

17.本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系等基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力..

　�。á瘢┳C法一：如圖1，

圖1

　　　　　　　　　∵底面ABCD是正方形，

∴BC⊥DC.

∵SD⊥底面ABCD，

∴DC是SC在平面ABCD上的射影，由三垂線定理得BC⊥SC.

證法二：如圖1，

　　　　　　　∵底面ABCD是正方形，

∴BC⊥DC.

∵SD⊥底面ABCD，

∴SD⊥BC，又DC∩SD=D,

∴BC⊥平面SDC，

∴BC⊥SC.

（Ⅱ）解法一：

　　　　　　　∵SD⊥底面ABCD，且ABCD為正方形，

∴可以把四棱錐S－ABCD補(bǔ)形為長(zhǎng)方體A₁B₁C₁S—ABCD，如圖2.

圖2

面ASD與面BSC所成的二面角就是面ADSA₁與面BCSA₁所成的二面角.

∵SC⊥BC,BC∥A₁S，

∴SC⊥A₁S，

又SD⊥A₁S，

∴∠CSD為所求二面角的平面角.

在Rt△SCB中，由勾股定理得SC=，

在Rt△SDC中，由勾股定理得SD=1.

∴∠CSD=45°.

即面ASD與面BSC所成二面角的大小為45°.

　　　　　解法二：如圖3，

圖3

　　　　　　　　　過(guò)點(diǎn)S作直線l∥AD,

  　　　　　　　　∴l在面ASD上，

∵底面ABCD為正方形，

∴l∥AD∥BC，

∴l在面BSC上，

∴l為面ASD與面BSC的交線.

∵SD⊥AD,BC⊥SC,

∴l⊥SD,l⊥SC,

∴∠CSD為面ASD與面BSC所成二面角的平面角.

（以下同解法一）

（Ⅲ）解法一：如圖3，

　　　　　　　∵SD=AD=1,∠SDA=90°,

∴△SDA是等腰直角三角形.

又M是斜邊SA的中點(diǎn)，

∴DM⊥SA.

∵BA⊥AD,BA⊥SD,AD∩SD=D,

∴BA⊥面ASD，SA是SB在面ASD上的射影.

由三垂線定理得DM⊥SB.

∴異面直線DM與SB所成的角為90°.

　　  解法二：如圖4，

圖4

　　　　　　　　取AB中點(diǎn)P，連結(jié)MP，DP.

　　　　　　　　在△ABS中，由中位線定理得

　　　　　　　　MP∥SB，

　　　　　　　　∴∠DMP是異面直線DM與SB所成的角.

∵MP=SB=,

又DM=,DP==,

∴在△DMP中，有DP²=MP²+DM²,

∴∠DMP=90°.

∴異面直線DM與SB所成的角為90°.