Question

已知點(diǎn)A（-1，0）、B（1，0），直線AM與BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為-2，
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)N（1，1）的直線l與曲線E交于C、D兩點(diǎn)，且

OC

•

OD

=0，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：設(shè)M（x，y），寫(xiě)出直線AM與直線BM的斜率分別為

y

x+1

，

y

x-1

，結(jié)合題意得到x與y的關(guān)系，進(jìn)而得到答案．
（2）根據(jù)題意可得直線l的斜率存在，所以設(shè)l：y-1=k（x-1），C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），聯(lián)立方程組得：（2+k²）x²+2k（1-k）x+（1-k）²-2=0，再結(jié)合根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系與

OC

•

OD

=0，得到k²-6k+1=0，進(jìn)而求出直線的斜率得到直線的方程．

解答：解：（1）由題意可得：設(shè)M（x，y），
所以直線AM與直線BM的斜率分別為

y

x+1

，

y

x-1

，
因?yàn)橹本�AM與直線BM的斜率之積為-2，
所以

y

x+1

•

y

x-1

=-2，化簡(jiǎn)得：x2+

y2

2

=1(y≠0)．
所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程為x2+

y2

2

=1(y≠0)．
（2）根據(jù)題意可得直線l的斜率存在，所以設(shè)l：y-1=k（x-1），C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
聯(lián)立方程組得：

y=kx+1-k 2x2+y2=2

⇒2x2+(kx+1-k)2=2
所以整理可得：（2+k²）x²+2k（1-k）x+（1-k）²-2=0
所以根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：

△＞0 x1+x2= 2k(k-1) 2+k2 x1x2= (1-k)2-2 2+k2

因?yàn)?span id="9ha9qei" class="MathJye">

OC

•

OD

=0，所以x₁x₂+y₁y₂=0，即（1+k²）x₁x₂+k（1-k）（x₁+x₂）+（1-k）²=0，
所以(1+k2)•

k2-2k-1

2+k2

+k(k-1)•

2k(1-k)

2+k2

+(1-k)2=0，
所以k2-6k+1=0解得k=3±2

2

．
所以直線l的方程y-1=(3±2

2

)(x-1)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求曲線方程的方法，以及考查當(dāng)直線與圓相交時(shí)結(jié)合題意運(yùn)用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)求值的知識(shí)點(diǎn)，要求學(xué)生掌握平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，是一道綜合性較強(qiáng)的題．