Question

8．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，點E為棱AB的中點．
（1）求BC₁與D₁E所成角的余弦值；
（2）在棱CC₁是否存在一點N使得EN⊥DB₁，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（（-2，0，2），$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（（2，1，0），利用BC₁與D₁E所成角的余弦值=|cos＜$\overrightarrow{B{C}_{1}}$，$\overrightarrow{{D}_{1}E}$＞|，可得結(jié)論；
（2）設(shè)N（0，2，z），則$\overrightarrow{EN}$=（-2，-1，z），$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（2，2，2），利用向量的數(shù)量積公式，可得結(jié)論．

解答 解：（1）如圖所示，建立坐標系，B（2，2，0），C₁（0，2，2），D₁（0，0，0），E（2，1，0），
則$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（（-2，0，2），$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（（2，1，0），
∴BC₁與D₁E所成角的余弦值=|cos＜$\overrightarrow{B{C}_{1}}$，$\overrightarrow{{D}_{1}E}$＞|=|$\frac{-4}{\sqrt{8}•\sqrt{5}}$|$\frac{\sqrt{10}}{5}$；
（2）設(shè)N（0，2，z），則$\overrightarrow{EN}$=（-2，-1，z），$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（2，2，2），
∵EN⊥DB₁，
∴-4-2+2z=0，∴z=3＞2，
∴棱CC₁不存在一點N使得EN⊥DB₁．

點評 本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查向量知識的運用，正確求出向量的坐標是關(guān)鍵．