Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和最大值；
（2）若f（x）≤0恒成立，求k的取值范圍；
（3）證明：①ln（x-1）＜x-2在（2，+∞）上恒成立；②

n

i=2

（

lni

i+1

）＜

n(n-1)

4

（n∈N，n＞1）

Answer 1

分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)，通過對k的討論，判斷出導(dǎo)函數(shù)的符號，列出x，f′（x），f（x）變換情況，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和最大值．
（2）當(dāng)k≤0時(shí)，在[2，+∞）上有f（x）＞0，不滿足題意，當(dāng)k＞0時(shí)，令f（x）的最大值ln（

1

k

）≤0 求出k的范圍即可．
（3）取k=1，由（2）知f（x）=ln（x-1）-x+2≤0恒成即ln（x-1）≤x-2  所以

ln(x-1)

x

≤

x-2

x

 令x=n+1得到

lnn

n+1

＜

n-1

n+1

＜

n-1

2

   即證得

n

i=2

(

lni

i+1

)＜

n(n-1)

4

成立．

解答：解：（1）f′（x）=

1

x-1

-k （x＞1）
   當(dāng)k≤0時(shí)，f（′x）＞0，f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增
   即f'（x）的增區(qū)間為（1，+∞）  無減區(qū)間
   當(dāng)k＞0時(shí)，令f'（x）=0得x=1+

1

k

  x，f′（x），f（x）變換情況如下：
  當(dāng)  x∈（1，1+

1

k

），f′（x）＞0；     
當(dāng)x∈（1+

1

k

，+∞），f′（x）＜0  
  所以f（x）的增區(qū)間為（1，1+

1

k

） 減區(qū)間為（1+

1

k

，+∞）
（2）當(dāng)k≤0時(shí)，在[2，+∞）上有f（x）＞0，不滿足題意
     當(dāng)k＞0時(shí)，由（1）知，f（x）有極大值也是最大值f（1+

1

k

）=ln（

1

k

）
∵f（x）≤0恒成立
∴只需f（x）的最大值ln（

1

k

）≤0 解得k≥1
    綜上，k∈[1，+∞）
（3）取k=1，由（2）知f（x）=ln（x-1）-x+2≤0恒成立
   即ln（x-1）≤x-2 
所以

ln(x-1)

x

≤

x-2

x

   令x=n+1，則

lnn

n+1

＜

n-1

n+1

＜

n-1

2

  
∴

ln2

3

+

ln3

4

+…+

lnn

n+1

＜

1

2

+

2

2

+

3

2

+…+

n-1

2

=

n(n-1)

4

即

n

i=2

(

lni

i+1

)＜

n(n-1)

4

點(diǎn)評：解決函數(shù)的最值、單調(diào)性、極值及解決不等式恒成立求參數(shù)的范圍以及證明不等式恒成立問題，常用的工具是導(dǎo)數(shù)，是屬于綜合題．