【題目】已知函數(shù)fx)=ex+1-alnax+aa>0).

(1)當(dāng)a=1時,求曲線y=fx)在點(1,f(1))處的切線方程;

(2)若關(guān)于x的不等式fx)>0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1) (e2-1)x-y-2=0.(2) (0,e2

【解析】

(1)直接利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出直線的斜率,進(jìn)一步求出直線的方程.

(2)利用構(gòu)造函數(shù)的方法,利用函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的恒成問題的應(yīng)用,進(jìn)一步求出參數(shù)的取值范圍.

(1)當(dāng)a=1時,函數(shù)fx=ex+1-alnax+a,

轉(zhuǎn)換為:fx=ex+1-lnx+1,

故:

故切線的斜率k=f1=e2-1,

故切線的方程為:y-f1=f1)(x-1),

整理得:y-e2-1=e2-1)(x-1),

即(e2-1x-y-2=0

2fx=ex+1-alnax+a

所以:=,

顯然:gx=xex+1-a在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

由于g0=-a0

所以:ga=aea+1-a0,

則:存在x0∈(0,a),使得gx0)=0,

即:,lna=lnx0+x0+1,

又0<xx0f′(x)<0,

所以函數(shù)fx)單調(diào)遞減.

xx0f′(x)>0,函數(shù)fx)單調(diào)遞增.

fx)在x=x0處取得最小值

故:,

=

fx)>0恒成立,

得到:fx0)>0,

即:,

所以:,

設(shè)hx)=,

則:<0,

所以:函數(shù)hx)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.

由于h(1)=0,

hx)>0,

解得:0<x<1,

所以:0<x0<1,

,在x0∈(0,1)單調(diào)遞增,

所以:0<ae2

因此a=,

故:a的取值范圍為(0,e2).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某工廠對一批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測.如圖是根據(jù)抽樣檢測后的產(chǎn)品凈重(單位:克)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖,其中產(chǎn)品凈重的范圍是[96,106],樣本數(shù)據(jù)分組為[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106],已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個數(shù)是36.

(1)求樣本容量及樣本中凈重大于或等于96克并且小于102克的產(chǎn)品的個數(shù);

(2)已知這批產(chǎn)品中每個產(chǎn)品的利潤y(單位:元)與產(chǎn)品凈重x(單位:克)的關(guān)系式為求這批產(chǎn)品平均每個的利潤.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】己知兩點,,動點Py軸上的攝影是H,且,

(1)求動點P的軌跡方程;

(2)設(shè)直線,的兩個斜率存在,分別記為,,若,求點P的坐標(biāo);

(3)若經(jīng)過點的直線l與動點P的軌跡有兩個交點為T、Q,當(dāng)時,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點A關(guān)于平面BDC1對稱點為M,則M到平面A1B1C1D1的距離為( 。

A. B. C. D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】一個工廠在某年連續(xù)10個月每月產(chǎn)品的總成本y(萬元)與該月產(chǎn)量x(萬件)之間有如下一組數(shù)據(jù):

x

1.08

1.12

1.19

1.28

1.36

1.48

1.59

1.68

1.80

1.87

y

2.25

2.37

2.40

2.55

2.64

2.75

2.92

3.03

3.14

3.26

(1)通過畫散點圖,發(fā)現(xiàn)可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系,請用相關(guān)系數(shù)加以說明;

(2)①建立月總成本y與月產(chǎn)量x之間的回歸方程;

②通過建立的y關(guān)于x的回歸方程,估計某月產(chǎn)量為1.98萬件時,此時產(chǎn)品的總成本為多少萬元?

(均精確到0.001)

附注:①參考數(shù)據(jù):,

②參考公式:相關(guān)系數(shù),

回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在以P為頂點的圓錐中,母線長為,底面圓的直徑AB長為2,O為圓心.C是圓O所在平面上一點,且AC與圓O相切.連接BC交圓于點D,連接PDPC,EPC的中點,連接OE,ED.

1)求證:平面平面PAC;

2)若二面角的大小為,求面PAC與面DOE所成二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】《復(fù)仇者聯(lián)盟4:終局之戰(zhàn)》是安東尼·羅素和喬·羅素執(zhí)導(dǎo)的美國科幻電影,改編自美國漫威漫畫,自2019424日上映以來票房火爆.某電影院為了解在該影院觀看《復(fù)仇者聯(lián)盟4》的觀眾的年齡構(gòu)成情況,隨機(jī)抽取了100名觀眾的年齡,并分成,,,,七組,得到如圖所示的頻率分布直方圖.

1)求這100名觀眾年齡的平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表)、中位數(shù);

2)該電影院擬采用抽獎活動來增加趣味性,觀眾可以選擇是否參與抽獎活動(不參與抽獎活動按原價購票),活動方案如下:每張電影票價格提高10元,同時購買這樣電影票的每位觀眾可獲得3次抽獎機(jī)會,中獎1次則獎勵現(xiàn)金元,中獎2次則獎勵現(xiàn)金元,中獎三次則獎勵現(xiàn)金元,其中,已知觀眾每次中獎的概率均為.

①以某觀眾三次抽獎所獲得的獎金總額的數(shù)學(xué)期望為評判依據(jù),若要使抽獎方案對電影院有利,則最高可定為多少;

②據(jù)某時段內(nèi)的統(tǒng)計,當(dāng)時該電影院有600名觀眾選擇參加抽獎活動,并且每增加1元,則參加抽獎活動的觀眾增加100.設(shè)該時間段內(nèi)觀影的總?cè)藬?shù)不變,抽獎活動給電影院帶來的利潤的期望為,求的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】拋物線的焦點為,準(zhǔn)線為是拋物線上的兩個動點,且滿足.設(shè)線段的中點上的投影為,則的最大值是_______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖, 中,,分別為,邊的中點,以為折痕把折起,使點到達(dá)點的位置,且

(1)證明:平面;

(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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