Question

在如圖所示的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（Ⅰ）若M、N、P分別是C₁C、B₁C₁、D₁C₁的中點，求證：平面MNP∥平面A₁BD．
（Ⅱ）求直線BC₁與平面ACC₁A₁所成角的大小．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,平面與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（I）欲證平面MNP∥平面A₁BD，先證線面平行，連接B₁D₁，根據面面平行的判定定理可知，先證PN∥平面A₁BD，MN∥平面A₁BD，即可；
（II）連接BD，BD∩AC=0，連接OC₁，確定∠BC₁O為直線BC₁與平面A₁ACC₁所成的角，從而可得結論．

解答： （I）證明：連接B₁D₁，∵P、N分別是D₁C₁、B₁C₁的中點，
∴PN∥B₁D₁．又B₁D₁∥BD，
∴PN∥BD．又PN不在平面A₁BD上，
∴PN∥平面A₁BD．
同理，MN∥平面A₁BD．又PN∩MN=N，
∴平面PMN∥平面A₁BD．
（II）解：連接AC，BD∩AC=0，連接OC₁，
由正方體的性質可得BO⊥AC，BO⊥AA₁且AA₁∩AC=A
∴BO⊥平面AA₁C₁C
∴∠BC₁O為直線BC₁與平面A₁ACC₁所成的角
設正方體的棱長為a，則OB=

2

2

a，BC₁=

2

a
在Rt△BC₁O中，sin∠BC₁O=

OB

BC1

=

1

2

∴∠BC₁O=30°．

點評：本題主要考查了平面與平面之間的位置關系，直線與平面所成的角，考查正方體的性質，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．