Question

1．設(shè)奇函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{acosx-\sqrt{3}sinx+c，x≥0}\\{cosx+bsinx-c，x＜0}\end{array}\right.$，則a+b的值為-1-$\sqrt{3}$．不等式f（x）＞f（-x）在x∈[-π，π]上的解集為（$\frac{2π}{3}$，π]∪（-$\frac{2π}{3}$，0）．

Answer 1

分析 根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求得a、b的值，可得a+b的值．由條件利用分段函數(shù)，解三角不等式，求得x的范圍．

解答 解：由奇函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{acosx-\sqrt{3}sinx+c，x≥0}\\{cosx+bsinx-c，x＜0}\end{array}\right.$，不妨設(shè)x＞0，則-x＜0，
由f（-x）=-f（x），可得 cos（-x）-bsinx-c=-[acosx-$\sqrt{3}$sinx+c]，
可得a=-1，b=-$\sqrt{3}$．
再根據(jù)f（0）=a-0+c=-1+c=0，可得c=1，故a+b=-1-$\sqrt{3}$．
由f（x）＞f（-x）=-f（x），可得2f（x）＞0．
根據(jù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-cosx-\sqrt{3}sinx+1，x≥0}\\{cosx-\sqrt{3}sinx-1，x＜0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{-cosx-\sqrt{3}sinx+1＞0}\end{array}\right.$ ①，或 $\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{cosx-\sqrt{3}sinx-1＞0}\end{array}\right.$②．
再根據(jù)x∈[-π，π]，且x≥0，可得x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
再由①可得sin（x+$\frac{π}{6}$）＜$\frac{1}{2}$，求得$\frac{5π}{6}$＜x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$，即 $\frac{2π}{3}$＜x≤π．
再根據(jù)x∈[-π，π]，且x＜0，可得x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{3}$），
由②可得cos（x+$\frac{π}{3}$）＞$\frac{1}{2}$，求得-$\frac{π}{3}$＜x+$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{3}$，即-$\frac{2π}{3}$＜x＜0．
綜上可得，不等式f（x）＞f（-x）在x∈[-π，π]上的解集為（$\frac{2π}{3}$，π]∪（-$\frac{2π}{3}$，0），
故答案為：-1-$\sqrt{3}$；（$\frac{2π}{3}$，π]∪（-$\frac{2π}{3}$，0）．

點評 本題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)，分段函數(shù)的應(yīng)用，解三角不等式，屬于中檔題．