Question

正四棱錐的棱長均為a，

(1)求側(cè)面與底面所成角a的余弦；

(2)求相鄰兩個側(cè)面所成二面角b的余弦；

(3)求證：b=2a．

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：如圖，作高SO和斜高SE，連結(jié)OE， ∵棱錐S—ABCD為正四棱錐，∴OE⊥BC． ∴∠SEO為側(cè)面與底面所成的角． 由題知∠SEO=a， ∵SE=a,OE=a, cosa=． (2)解：設(shè)SA的中點(diǎn)為F，連接BF和DF， ∵△ABS和△ADS都是正三角形， ∴DF⊥SA，BF⊥SA， ∴∠DFB為相鄰兩側(cè)面所成二面角的平面角， ∴∠DFB=b． 由DF=BF=，BD=得 cosb= (3)證明：∵cos2a=2cos2a-1=-， 由(2)得cosb=-， O°<2a<180°，O°<b<180°，∴b=2a． 點(diǎn)評：正棱錐中斜高和斜高在底面上的射影所成的角為側(cè)面與底面所成的角，求側(cè)面與底面所成的角時，通常作出高、斜高及斜高在底面上的射影來組成直角三角形，通過解直角三角形求出要求的角．本例中的(2)求兩個側(cè)面所成二面角b的余弦是利用余弦定理求得的．