【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+(b﹣8)x﹣a﹣ab,當(dāng)x∈(﹣3,2)時(shí),f(x)>0,當(dāng)x∈(﹣∞,﹣3)∪(2,+∞)時(shí),f(x)<0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若不等式ax2+bx+c≤0的解集為R,求c的取值范圍;
(3)當(dāng)x>﹣1時(shí),求y= 的最大值.
【答案】
(1)解:由已知得,方程ax2+(b﹣8)x﹣a﹣ab=0的兩個(gè)根為﹣3,2,
則 ,即 ,
解得a=﹣3,b=5,
∴f(x)=﹣3x2﹣3x+18
(2)解:由已知得,不等式﹣3x2+5x+c≤0的解集為R,
因?yàn)椤?52﹣4×(﹣3)×c≤0,
∴c≤﹣ ,即c的取值范圍為(﹣∞,﹣ ]
(3)解:y= = =﹣3×(x+ )=﹣3×[(x+1)+ ﹣1],
因?yàn)閤>﹣1,(x+1)+ ≥2,
當(dāng)且僅當(dāng)x+1= ,即x=0時(shí)取等號(hào),
∴當(dāng)x=0時(shí),ymax=﹣3
【解析】(1)由已知中函數(shù)f(x)=ax2+(b﹣8)x﹣a﹣ab,當(dāng)x∈(﹣3,2)時(shí),f(x)>0,當(dāng)x∈(﹣∞,﹣3)∪(2,+∞)時(shí),f(x)<0,可得f(x)=0的兩根為﹣3,2,由韋達(dá)定理(根與系數(shù)的關(guān)系)我們易求出a,b的值,進(jìn)而得到函數(shù)的解析式;(2)由(1)的結(jié)論,根據(jù)不等式﹣3x2+5x+c≤0的解集為R,可得△≤0,由此構(gòu)造關(guān)于c的不等式,解不等式即可求出c的取值范圍;(3)根據(jù)(1)的結(jié)論,我們易求出y= 的解析式,結(jié)合基本不等式,分析出函數(shù)的值域,即可得到其最大值.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和解一元二次不等式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握當(dāng)時(shí),拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當(dāng)時(shí),拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減;求一元二次不等式解集的步驟:一化:化二次項(xiàng)前的系數(shù)為正數(shù);二判:判斷對(duì)應(yīng)方程的根;三求:求對(duì)應(yīng)方程的根;四畫:畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象;五解集:根據(jù)圖象寫出不等式的解集;規(guī)律:當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為正時(shí),小于取中間,大于取兩邊才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面四邊形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD,將△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如圖.
(1)求證:AB⊥CD;
(2)若M為AD中點(diǎn),求直線AD與平面MBC所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖在三棱錐S﹣ABC中,△ABC是邊長為2的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC= ,M為AB的中點(diǎn).
(I)證明:AC⊥SB;
(Ⅱ)求點(diǎn)B到平面SCM的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為 (其中為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系并取相同的單位長度,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)把曲線的方程化為普通方程, 的方程化為直角坐標(biāo)方程;
(2)若曲線, 相交于兩點(diǎn), 的中點(diǎn)為,過點(diǎn)做曲線的垂線交曲線于兩點(diǎn),求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,其它四個(gè)側(cè)面都是側(cè)棱長為 的等腰三角形.
(Ⅰ)求二面角P﹣AB﹣C的大小;
(Ⅱ)在線段AB上是否存在一點(diǎn)E,使平面PCE⊥平面PCD?若存在,請(qǐng)指出點(diǎn)E的位置并證明,若不存在請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)
如圖,已知四棱錐,底面為菱形,,
, 平面, 分別是的中點(diǎn)。
(1)證明: ;
(2)若為上的動(dòng)點(diǎn),與平面所成最大角
的正切值為,求二面角的余弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)校舉行班級(jí)籃球賽,某名運(yùn)動(dòng)員每場(chǎng)比賽得分記錄的莖葉圖如下:
(1)求該運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)和平均數(shù);
(2)估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員每場(chǎng)得分超過10分的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a,b),導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有極大值點(diǎn)( )
A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的焦距為2,離心率為,軸上一點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(Ⅰ)求該橢圓的方程;
(Ⅱ)若對(duì)于直線,橢圓上總存在不同的兩點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱,且,求
實(shí)數(shù)的取值范圍.
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