Question

如圖所示,直線l₁和l₂相交于點(diǎn)M,l₁⊥l₂,點(diǎn)N∈l₁,以A、B為端點(diǎn)的曲線段C上任一點(diǎn)到l₂的距離與到點(diǎn)N的距離相等.若△AMN為銳角三角形,|AM|=,|AN|=3,且|NB|=6,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求曲線段C的方程.

Answer 1

剖析：由題意所求曲線段是拋物線的一部分,求曲線方程需建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,設(shè)出拋物線方程,由條件求出待定系數(shù)即可,求出曲線方程后要標(biāo)注x、y的取值范圍.

解：以直線l₁為x軸,線段MN的垂直平分線為y軸,建立直角坐標(biāo)系,由條件可知,曲線段C是以點(diǎn)N為焦點(diǎn),以l₂為準(zhǔn)線的拋物線的一段.其中A、B分別為曲線段C的端點(diǎn).

    設(shè)曲線段C的方程為y²=2px(p＞0)(x_a≤x≤x_b,y＞0),其中x_a、x_b為A、B的橫坐標(biāo),p=|MN|,

所以M(-,0)、N(,0).

    由|AM|=,|AN|=3,得

    (x_a+)²+2px_a=17,                    ①

    (x_a-)²+2px_a=9.                      ②

    ①②聯(lián)立,解得x_a=,代入①式,并由p＞0,解得或

    因?yàn)椤鰽MN為銳角三角形,所以＞x_A.

    故舍去所以

    由點(diǎn)B在曲線段C上,得x_b=|BN|-=4.

    綜上,曲線段C的方程為y²=8x(1≤x≤4,y＞0).