Question

如果函數(shù)f （x）滿足：對任意的實數(shù) x，y都有 f （ x+y ）=f （ x ）•f （ y ） 且f （ 1 ）=2，則

f(2)

f(1)

+

f(4)

f(2)

+

f(6)

f(3)

+

f(8)

f(4)

+…+

f(20)

f(10)

=

 

．

Answer 1

分析：先由f （ x+y ）=f （ x ）•f （ y ）得f （ 2x）=f （ x ）²?

f(2x)

f(x)

=f（x）．以及

f(x+1)

f(x)

=2，兩個結(jié)論相結(jié)合可得

f(2n)

f(n)

=f（n）=2ⁿ．把問題轉(zhuǎn)化為求等比數(shù)列的和，再代入求和公式即可．

解答：解：由 f （ x+y ）=f （ x ）•f （ y ）得 f （ 2x）=f （ x ）²?

f(2x)

f(x)

=f（x）．
∵f （ x+y ）=f （ x ）•f （ y ）?f （ x+1 ）=f （ x ）•f （ 2 ）=2f（x）?

f(x+1)

f(x)

=2，
所以數(shù)列{f（n）}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故f（n）=2×2^n-1=2ⁿ．
∴

f(2n)

f(n)

=f（n）=2ⁿ．
則

f(2)

f(1)

+

f(4)

f(2)

+

f(6)

f(3)

+

f(8)

f(4)

+…+

f(20)

f(10)

=2¹+2²+2³+…+2¹⁰=

2(1-210)

1-2

=2¹¹-2=2046．
故答案為：2046．

點評：本題主要考查抽象函數(shù)及其應用．抽象函數(shù)是相對于給出具體解析式的函數(shù)來說的，它雖然沒有具體的表達式，但是有一定的對應法則，滿足一定的性質(zhì)，這種對應法則及函數(shù)的相應的性質(zhì)是解決問題的關鍵．