Question

設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）（c＞0）是雙曲線Γ：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦點，M是圓O：x²+y²=c²與雙曲線左支的交點，線段MF₂與圓x²+y²-

2c

3

x+

a2

9

=0相切于點D，則雙曲線Γ的離心率的值是

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：聯(lián)立雙曲線方程和圓的方程，求出M的坐標，由直線方程的兩點式求得MF₂的方程，化圓x²+y²-

2c

3

x+

a2

9

=0為標準方程，得到圓心坐標和半徑，由圓心到直線MF₂的距離等于半徑列式求得雙曲線Γ的離心率的值．

解答： 解：如圖，不妨設(shè)M為雙曲線與圓在第二象限的交點，

聯(lián)立

x2 a2 - y2 b2 =1 x2+y2=c2

，解得M（-

a b2+c2

c

，

b2

c

）．
∴MF₂所在直線方程為：

y

b2 c

=

x-c

- a b2+c2 c -c

，
整理得：b2x+(a

b2+c2

)y-b2c=0．
由x²+y²-

2c

3

x+

a2

9

=0，得(x-

c

3

)2+y2=

b2

9

，
則該圓的圓心坐標為（

c

3

，0），半徑為

b

3

．
由線段MF₂與圓x²+y²-

2c

3

x+

a2

9

=0相切，得

| b2c 3 -b2c|

b4+a2(b2+c2)

=

b

3

，整理得：2b=c，即4a²=3c²，

c

a

=

2 3

3

．
故答案為：

2 3

3

．

點評：本題考查了雙曲線的簡單集合性質(zhì)，考查了圓與圓錐曲線間的關(guān)系，考查了學生的計算能力，是中檔題．