已知函數(shù),若
,則稱
為
的“不動點(diǎn)”;若
,則稱
為
的“穩(wěn)定點(diǎn)”。記集合
(1)已知,若
是在
上單調(diào)遞增函數(shù),是否有
?若是,請證明。
(2)記表示集合
中元素的個數(shù),問:
若函數(shù)
,若
,則
是否等于0?若是,請證明,
若
,試問:
是否一定等于1?若是,請證明
(1)證明:先證 任取,則
再證 任取
若,不妨設(shè)
由單調(diào)遞增可知: 與
矛盾
同理也矛盾,所以
綜上:
(2)①若 由于
無實(shí)根 則對任意實(shí)數(shù)x,
從而 故
無實(shí)根
同理若 對任意實(shí)數(shù)x,
,從而
故也無實(shí)根
②不妨設(shè)是B中唯一元素 則
令 那么
而
故 說明t也是
的不動點(diǎn)
由于 只有唯一的不動點(diǎn) 故
即
這說明t也是的不動點(diǎn),從而存在性得證
以下證明唯一性:若還有另外一個不動點(diǎn)m,即
則 這說明
還有另外一個穩(wěn)定點(diǎn)m
與題設(shè)矛盾。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆湖北孝感高中高三年級九月調(diào)研考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013110223222790919549/SYS201311022324019901876285_ST.files/image002.png">,若
在
上為增函數(shù),則稱
為“一階比增函數(shù)”;若
在
上為增函數(shù),則稱
為“二階比增函數(shù)”.我們把所有“一階比增函數(shù)”組成的集合記為
,所有“二階比增函數(shù)”組成的集合記為
.
(Ⅰ)已知函數(shù),若
且
,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(Ⅱ)已知,
且
的部分函數(shù)值由下表給出,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
求證:;
(Ⅲ)定義集合
請問:是否存在常數(shù),使得
,
,有
成立?若存在,求出
的最小值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆山東省高一上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知函數(shù),若
,則稱
為
的“不動點(diǎn)”;若
,則稱
為
的“穩(wěn)定點(diǎn)”。記集合
(1)已知,若
是在
上單調(diào)遞增函數(shù),是否有
?若是,請證明。
(2)記表示集合
中元素的個數(shù),問:
若函數(shù)
,若
,則
是否等于0?若是,請證明
若
,試問:
是否一定等于1?若是,請證明
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年四川省成都市高新區(qū)高三2月月考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
對于函數(shù),若存在
,使
成立,則稱
為
的不動點(diǎn). 已知函數(shù)
,若對任意實(shí)數(shù)b,函數(shù)
恒有兩個相異的不動點(diǎn),則實(shí)數(shù)
的取值范圍是 ( )
A.(0,1) B.(1,+∞) C.[0,1) D.以上都不對
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年浙江省高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)卷 題型:解答題
(本小題滿分10分)對于函數(shù),若存在
,使得
成立,則稱
為
的“滯點(diǎn)”.已知函數(shù)
,若
在
內(nèi)存在“滯點(diǎn)”,求
的取值范圍.
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