如圖，在直三棱柱中，，，為棱 上的一點(diǎn)，分別為、的重心．
（1）求證：；
（2）若二面角的正切值為，求兩個(gè)半平面、所成銳二面角的余弦值；
（可選）若點(diǎn)在平面的射影正好為,試判斷在平面的射影是否為．
（1）證明：設(shè)的中點(diǎn)分別為
分別是的重心
三點(diǎn)共線，且
三點(diǎn)共線，且

在矩形中顯然有
;
（2）方法一：因?yàn)樵谥庵?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823184905092435.gif" style="vertical-align:middle;" />中，由于，所以兩兩垂直故可以建立以為軸，為軸，為軸的空間直角坐標(biāo)系，則有：，

可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，面的法向量為，

可以取
顯然面的法向量為
由二面角的正切值為，則易求得求二面角的余弦值為
.
即點(diǎn)為的中點(diǎn)；
同理可求得面的法向量
故
兩個(gè)半平面、所成銳二面角的余弦值．
方法二：連接，則在等腰中，
又易證：

為二面角的平面角
在中，,而在三角形中易求得
，即得到點(diǎn)是的中點(diǎn)
以下解法同解法一.
略
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若三個(gè)平面兩兩相交，且三條交線互相平行，則這三個(gè)平面把空間分成（  ）部分
A 5        B 6         C 7         D 8

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

(本小題滿分14分)
如圖, 在長方體中，過作的垂線，垂足為，過作的垂線，垂足為。
（1）求證：
（2）判斷是否平行于平面，并證明你的結(jié)論

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

(本小題滿分12分)
如圖，四棱錐，≌，在它的俯視圖中，，，．
⑴求證：是直角三角形；⑵求四棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

正三棱柱的所有棱長都相等，則二面角的大小為（   ）
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在正四棱柱中，，為的中點(diǎn)．
求證：（I）∥平面； （II）平面;
（自編）（Ⅲ）若E為上的動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)的位置使直線與平面所成角的余弦值是．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

在正方體ABCD—A1B1C1D1中，若E為A1C1中點(diǎn)，則直線CE垂直于（   ）
A．ACB．BDC．A1DD．A1A

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（本題滿分8分）已知四棱錐P－ABCD的直觀圖與三視圖如圖所示
（1）求四棱錐P－ABCD的體積；
（2）若E為側(cè)棱PC的中點(diǎn)，求證：PA//平面BDE.
  

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

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