Question

14．實數(shù)x，y滿足x²-2xy+2y²=2，則x²+2y²的最小值為4-2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 化簡可得（x-y）²+y²=2，令x-y=$\sqrt{2}$cosa，y=$\sqrt{2}$sina，從而利用三角恒等變換化簡求最值．

解答 解：∵x²-2xy+2y²=2，
∴（x-y）²+y²=2，
∴x-y=$\sqrt{2}$cosa，y=$\sqrt{2}$sina，
∴x=$\sqrt{2}$cosa+$\sqrt{2}$sina，
∴x²+2y²=（$\sqrt{2}$cosa+$\sqrt{2}$sina）²+2（$\sqrt{2}$sina）²
=2+4sinacosa+4sin²a
=2+2sin2a+2-2cos2a
=4+2$\sqrt{2}$sin（2a-$\frac{π}{4}$），
故當(dāng)sin（2a-$\frac{π}{4}$）=-1時有最小值4-2$\sqrt{2}$，
故答案為：4-2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了學(xué)生的化簡運算能力，同時考查了整體思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用及換元法的應(yīng)用．